10．3二重積分的換元積分法
在一元函數定積分的計算中，我們常常進行換元，以達刪繁就簡的目的，當然，二重積分也有換元積分的問題。
首先讓我們回顧一下前面曾討論的一個事實。
設換元函數 
，視其為一個由定義域
到
的映射．點
的象點為
，點x的象點為，記
，
則由
到點
的線段長為
，
到
的線段長為
，稱
為映射在點到點的平均伸縮率。若
在點處可導，則
=
即
稱
是映射在點處的伸縮率。
對於由平面區域到
的映射
我們有如下結論：
引理 若變換
在開區域存在連續偏導數，且雅可比行列式
，
。變換將
平面上開區域變為
平面上開區域
。
，其象點為
，則包含點的面積微元
及與之相對應的包含點
的面積微元
之比是
，即=
下面給出引理3.1的說明，嚴格的證明從略。由圖3。1所示，在內作以點
為頂點的矩形
,而變換，將
分別變為平面上的四點
，矩形
變為曲邊四邊形
。而曲邊四邊形
的四個頂點的坐標由泰勒公式表示為
：
：
：
+
+
：
忽略高階無窮小與，曲邊四邊形
近似平行四邊形，其面積
=
=
=
其中
是矩形的面積。於是
在引理條件下，函數組，在
的某鄰域
具有連續的反函數組
再根據9.1節性質1.2有=
於是=
=
定理3.1 若函數
在有界閉區域連續，函數組將平面上區域一一對應地變換為平面上區域，且該函數組在存在連續的偏導數，，則
=
證 用任意分法
將區域分成
個小區域
，其面積分別記為
；變換，將分法變為上的分法
，將分割成個小區域
，其面積分別記為
，由引理可知，對於
，有
於是
，在上對應唯一點
且
，於是
在定理3.2的條件下，變換
在有界閉區域上存在連續的反函數組，他們必在上一致連續，所以當
時，必有又注意到函數
在的連續性，因而他在上可積，於是在
中令，有=完成定理3。2的證明。
在二重積分的計算中，若被積函數為
的形式，或積分區域為所謂的圓形區域時，通常采用極坐標變換
它能使前者化簡為一元函數
。
后者若為圖3.2所示的區域，利用極坐標變換能化為
平面上的
型區域。則積分=
=
=
特別，極點在邊界上的扇形區域，即
，則積分
=
極點在區域的內部，邊界線是
的區域，即
則積分
=
例3.1 計算
解 作極坐標變換 
將圓域D變換為矩形區域，
，於是用公式（3.5）得
=
例3.2 計算
，D是由
和
所圍的區域。
解 積分區域如圖3.5所示，作極坐標變換，則D化為區域，其邊界曲線為
=
，
，於是得
=
=
例3．3 
其中D是由
所圍成的平面區域
解 區域D及
如圖3.6所示，有=
-
而=4
在極坐標系下，有
, 因此=
於是=4－
．
例3．4 計算
，其中D是由曲線
所圍成的有界區域．
解由於積分區域D可表示為
故替換
，則積分區域變為
，在極坐標下
於是
例3．5 計算
解 由對稱性，原積分
其中
。作廣義極坐標變換：
則
變換為矩形區域
（圖3.7）
且
於是
例3．6 求曲線
與
所圍成區域的面積
解由二重積分的性質可知，區域的面積
作變換：
，
則這個變換
平面上曲線
變為平面
上的曲線
、變為
，於是它將區域變為
平面上由和所未成的區域
（圖3.8 ）。且
於是
例3．7 計算
解 作變換：
則
，將變換為閉圓域
，且
故
由對稱性
於是
例3．8 計算
，是由
、
、
和
所圍成的區域。
解 作變換：
，
，則這個變換將變換為平面上的正方形區域（圖3.9）。由於
且
故 
又注意到
，於是
