快速排序時間復雜度為O（n×log（n））的證明

之前只知道快速排序的平均時間復雜度為O（n×log（n）），最糟糕時復雜度為O（n^2），但卻不知道具體原因，今天好好證明一下，最后部分摘自《算法導論》。

首先再介紹一遍快排的思想：

通過一趟排序將待排記錄分割成獨立的兩部分，其中一部分記錄的關鍵字均比另一部分記錄的關鍵字小，則可分別對這兩部分記錄繼續進行排序，以達到整個序列有序的目的。

1、最優情況

在最優情況下，Partition每次都划分得很均勻，如果排序n個關鍵字，其遞歸樹的深度就為 [log2n]+1（ [x] 表示不大於 x 的最大整數），即僅需遞歸 log2n 次，需要時間為T（n）的話，第一次Partiation應該是需要對整個數組掃描一遍，做n次比較。然后，獲得的樞軸將數組一分為二，那么各自還需要T（n/2）的時間（注意是最好情況，所以平分兩半）。於是不斷地划分下去，就有了下面的不等式推斷：

這說明，在最優的情況下，快速排序算法的時間復雜度為O(nlogn)。

2、最糟糕情況

然后再來看最糟糕情況下的快排，當待排序的序列為正序或逆序排列時，且每次划分只得到一個比上一次划分少一個記錄的子序列，注意另一個為空。如果遞歸樹畫出來，它就是一棵斜樹。此時需要執行n‐1次遞歸調用，且第i次划分需要經過n‐i次關鍵字的比較才能找到第i個記錄，也就是樞軸的位置，因此比較次數為 ，最終其時間復雜度為O(n^2)。

3、一般情況

最后來看一下一般情況，平均的情況，設樞軸的關鍵字應該在第k的位置（1≤k≤n），那么：

本來想按這種思路推導出來，結果發現半天推不出結果，最后去翻閱《算法導論》7.4節，發現證明過程還是蠻復雜的，我就偷懶貼一下好了~