概述：在設計算法的時候，要考慮兩個方面，一個是算法的正確性，另外一個就是算法的效率，也就是復雜度，通常情況下，我們優先考慮的是時間復雜度，這也是本文要討論的內容。算法學習的時候，經常碰到這樣的問題，為什么快速排序的時間復雜度是O(nlog(n))?為何插入排序的時間復雜度是O（n^2）？這些是我們熟悉的算法時間復雜度，可能病沒有太大的問題，那我們不熟悉的呢？如果我們采用三路歸並排序而不是二路歸並排序，時間復雜度是多少呢？一個排序算法經過某種變形以后時間復雜度又是多少呢？本文，主要從數學底層，講述一個算法時間復雜度是如何推導的。讓你真正知其所以然，而不僅僅是總是心中存有疑惑：為何快排的時間復雜度會是這么奇怪的O（nlog（n））
1.數學基礎知識
首先，介紹以下數學基礎知識，這些基本都分布在高等數學和離散數學之中，不進行數學推導。
一些不等式：
無論是歸並還是快速排序，我們都可以把它們歸結到遞歸/分治這一類問題的求解，他們具有一個一般性的時間復雜度表述：
這個等式的意義是：規模是n的問題可以拆分成a個規模是n/b的問題，那么它的時間復雜度就等於a個規模是n/b的問題，加上一次分解耗費的時間D（n）和一次合並耗費的時間C（n）。第二部分到第四部分將介紹三種求解這個方程式的方法。
2.遞歸樹方法
這是一種最直觀的方法，它把上述等式形象化，然后進行求解，我們通過一個例子來說明這個情況。
例子：利用遞歸樹求解T(n)=T(n/10)+T(9n/10)+cn
划出遞歸樹如下：
關鍵點：求出樹的深度和每層的代價（注意，此例中因為每層的代價都相同，所以比較好求解；但在其他情況下，可能是每層代價不同，而是一個等比數列或者其他形式的數列）
1）其中，樹的深度容易求解:n-->9/10n-->81/100(n)......n/n=1
也就是說，這個遞歸下降滿足這個趨勢（其中b=10/9）：
於是
所以
2）第i層的代價：
每層的規模分別是1/10n和9/10n，而每個節點的代價是cn/10和9cn/10，所以加在一塊是cn。
3）總代價：
所以
T（n）=O（nlgn）
3.主方法
形如下列表達式的算法復雜度表述
T（n）=aT（n/b）+f（n）（a>=1,b>1）
主方法的證明：參考算法導論第四章
最終利用等比數列的求和公式即可求解。
4.替換代換法
說明：此種方法需要憑借一定的經驗，有點類似於數學歸納法，先猜測后證明。
1）步驟：猜測時間復雜度的表述形似
2）要點：猜測要准確，歸納假設要足夠強，避免弱化證明。替換非多項式變量
對於邊界問題：可采用移動邊界和強化歸納假設的方式加以解決。
實例：
1）證明T（n）=T（n/2）+n的時間復雜度位O（nlogn）
令T（n）<cnlgn
則
說明：此種算法復雜度的計算對以分支法為基礎的算法比較有效。