質因數分解（給定一個整數，求該數的所有質因數）

　　題目：質因數分解，給定一個整數，求該數的所有質因數，例如 90 = 2*3**3*5。

　　首先，質數的定義（引用百度百科）：

　　 質數又稱素數，有無限個。一個大於1的自然數，如果除了1和它自身外，不能被其他自然數整除（除0以外）的數稱之為素數（質數）；否則稱為合數。根據算術基本定理，每一個比1大的整數，要么本身是一個質數，要么可以寫成一系列質數的乘積；而且如果不考慮這些質數在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的。

　　在自然數域內，質數是不可再分的數，是組成一切自然數的基本元素。 比如，10 是由兩個 2 和兩個 3 組成的，正如水分子是由兩個 H 原子和一個 O 原子組成的一樣。只是和化學世界不同，質數有無窮多個，因此算術世界的元素也就有無窮多個。算術世界內的一切對象、定理和方法，都是由其基本元素質數組成的。

　　所以，注意，最小的質數（素數是2），1既不是質數也不是合數。回到題目，求一個整數的所有質因數，我們舉幾個例子來分析問題。比如，數字9 = 3*3，再比如18 = 2*9 = 2*3*3。所以，求解的過程就是從 i等於整數2開始搜索，看是否能整除n，如果n能夠被一個素數整除，那么判斷n/i的商是不是素數，如果不是素數，那么繼續求商的所有質因數；如果商也是素數，那么所有的質因數都被找出來了，停止遞歸。

　　下面貼代碼，首先是判斷一個數是不是素數的函數：

bool isZS(int n)
{
    int sqrtN = (double)sqrt((double)n);
    if ( n==1 ) return true;
    if ( n==2 ) return true;
    if (sqrtN*sqrtN == n) return false;
    for (int i=2;i<=sqrtN;i++)
    {
        if ((n%i) == 0 )
            return false;
    }

    return true;
}

　　然后是遞歸求解所有的質因數：

void findAllZYS(int n)
{
    if (n == 1) 
    {
        cout<<1;
        return ;
    }
    if (n == 2) 
    {
        cout<<2;
        return;
    }
    if (isZS(n))
    {
        cout<<" "<<n<<endl;
        return;
    }
    int i = 2;
    for (i=2;i<=n;i++)
    {
        if (isZS(i) && n%i == 0)
        {
            cout<<i<<" "<<endl;
            break;
        }
    }

    int nxtN = n / i;
    if (isZS(nxtN))
    {
        cout<<nxtN<<" "<<endl;
        return;
    }
    else
    {
        findAllZYS(nxtN);
    }

}

　　　以上代碼有一些存在修改的地方，for (i=2;i<=n;i++)，這個循環效率很低，遍歷從2到n，二樓提出建議很對，一個數如果不能被2~sqrt(n)整除肯定也就不能被sqrt(n)到n-1的數整除，所以這里可以修改，結合一樓的代碼，用迭代的方法實現，如下：

vector<int> findAllZYS_Itr(int n)
{
    vector<int> zys;
    if (isZS(n))
    {
        zys.push_back(n);
        return zys;
    }

    for (int i=2;i<n;i++)
    {
        if ( n%i == 0 )
        {
            while (n%i == 0)
            {
                n /= i;    
                zys.push_back(i);
            }
            if (isZS(n))
            {
                zys.push_back(n);
                break;
            }
        }
    }

    return zys;
}

 

　好了，上面就是我的思路和代碼了，拋磚引玉~歡迎指點~~