質因數分解及代碼：

每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式，這幾個質數就都叫做這個合數的質因數。如果一個質數是某個數的因數，那么就說這個質數是這個數的質因數。而這個因數一定是一個質數。

定義

質因數（或 質因子）在 數論里是指能整除給定正 整數的 質數。 兩個沒有共同質因子的正整數稱為互質。因 為1沒有質因子，1與任何正整數（包括1本身）都是互質。 正整數的因數分解可將正整數表示為一連串的質因子相乘，質因子如重復可以指數表示。根據算術基本定理， 任何正整數皆有獨一無二的質因子分解式。只有一個質因子的正整數為質數。

例子

• 1沒有質因子。
• 5只有1個質因子，5本身。（5是質數。）
• 6的質因子是2和3。(6 = 2 × 3)
• 2、4、8、16等只有1個質因子：2（2是質數，4 = 2，8 = 2，如此類推。）
• 10有2個質因子：2和5。(10 = 2 × 5)

就是一個數的 約數，並且是 質數，比如8=2×2×2，2就是8的質因數。12=2×2×3，2和3就是12的質因數。把一個式子以12=2×2×3的形式表示，叫做 分解質因數。16=2×2×2×2,2就是16的質因數， 把一個合數寫成幾個質數相乘的形式表示，這也是分解質因數。 ^[1]

分解質因數的方法是先用一個合數的最小質因數去除這個合數，得出的數若是一個質數，就寫成這個合數相乘形式；若是一個合數就繼續按原來的方法，直至最后是一個質數 。

分解質因數的有兩種表示方法，除了大家最常用知道的“短除分解法”之外，還有一種方法就是“塔形分解法”。

分解質因數對解決一些 自然數和 乘積的問題有很大的幫助，同時又為求 最大公約數和 最小公倍數做了重要的鋪墊。

計算方法

短除法

求一個數分解質因數，要從最小的質數除起，一直除到結果為質數為止。分解質因數的算式的叫短除法，和除法的性質差不多，還可以用來求多個個數的公因式：

求 最大公因數的一種方法，也可用來求 最小公倍數。

求幾個數最大公因數的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數的因數找出來，然后再找出公因數，最后在公因數中找出最大公因數。

 

例如：求12與18的最大公因數。

12的因數有：1、2、3、4、6、12。

18的因數有：1、2、3、6、9、18。

12與18的 公因數有：1、2、3、6。

12與18的最大公因數是6。

這種方法對求兩個以上數的最大公因數，特別是數目較大的數，顯然是不方便的。於是又采用了給每個數分別分解質因數的方法。

12=2×2×3

18=2×3×3

12與18都可以分成幾種形式不同的乘積，但分成質因數連乘積就只有以上一種，而且不能再分解了。所分出的質因數無疑都能 整除原數，因此這些質因數也都是原數的約數。從分解的結果看，12與18都有 公約數2和3，而它們的乘積2×3=6，就是 12與18的最大公約數。

采用分解質因數的方法，也是采用短除的形式，只不過是分別短除，然后再找 公約數和最大公約數。如果把這兩個數合在一起短除，則更容易找出 公約數和最大公約數。

從短除中不難看出，12與18都有 公約數2和3，它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數。與前邊分別分解質因數相比較，可以發現：不僅結果相同，而且 短除法 豎式左邊就是這兩個數的公共質因數，而兩個數的最大公約數，就是這兩個數的公共質因數的連乘積。

實際應用中，是把需要計算的兩個或多個數放置在一起，進行短除。

在計算多個數的最小公倍數時，對其中任意兩個數存在的約數都要算出，其它無此約數的數則原樣落下。最后把所有約數和最終剩下無法 約分的數連乘即得到最小公倍數。

只含有1個質因數的數一定是 虧數。

（短除法詳解：

短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫 除數的地方寫兩個數共有的 質因數，然后落下兩個數被公有質因數整除的商，之后再除，以此類推，直到結果 互質為止（兩個數互質）。

而在用短除計算多個數時，對其中任意兩個數存在的因數都要算出，其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是 互質關系。

求最大公因數 遍乘一邊，求最小公倍數 遍乘一圈。

（ 公約數：亦稱“公 因數”。是幾個整數同時均能整除的整數。如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的“公約數”；公約數中最大的稱為最大公約數。）

在用短除計算多個數時，對其中任意兩個數存在的因數都要算出，其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關系。求最大公約數遍乘左邊所有數公共的因數，求最小公倍數遍乘一圈。這種方法對求兩個以上數的最大公因數，特別是數目較大的數，顯然是不方便的。於是又采用了給每個數分別 分解質因數 的方法

）

 

Pollard Rho因數分解

1975年，John M. Pollard提出了第二種因數分解的方法，Pollard Rho快速因數分解。該算法時間復雜度為O（n^(1/4)）。

 

分解質因數代碼：

將一個正整數分解質因數。例如：輸入90,打印出90=2*3*3*5。
程序分析：對n進行分解質因數，應先找到一個最小的質數k，然后按下述步驟完成： 
(1)如果這個質數恰等於n，則說明分解質因數的過程已經結束，打印出即可。
(2)如果n<>k，但n能被k整除，則應打印出k的值，並用n除以k的商,作為新的正整數你n,
　重復執行第一步。
(3)如果n不能被k整除，則用k+1作為k的值,重復執行第一步。

#include "stdio.h"
#include "conio.h"
main()
{
  int n,i;
  printf("\nplease input a number:\n");
  scanf("%d",&n);
  printf("%d=",n);
  for(i=2;i<=n;i++)
    while(n!=i)
    {
      if(n%i==0)
      {
        printf("%d*",i);
        n=n/i;
      }
      else
        break;
    }
  printf("%d",n);
  getch();
}

另一種形式：

//返回質因數數組  
Integer[] decPrime(int n) {  
    List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();  
    for (int i=2;i <= n;i++){  
        while(n != i){  
            if(n%i != 0){  
                break;//不能整除肯定不是因數，能夠整除在這里一定是質數。因為所有的2，3,5,7  
                      //都被除完之后。剩下的因數只能是奇數，且是質數。  
            }  
            list.add(Integer.valueOf(i));  
            n = n/i;  
        }  
    }  
    list.add(Integer.valueOf(n));  
    return list.toArray(new Integer[list.size()]);  
}  

 另外代碼：

。我們用所有正整數試驗一下，從2開始進行試除，逐步增加除數的值，去尋找一個可以整除n的數。在Eratosthenes篩法的討論中，我們知道如果n是一個復合數，那么它就會有一個素數 。算法9.3所示的就是這種方法的偽代碼。這個算法有兩個偱環路徑，外部的和內部的。外部循環求唯一因數，內部循環求一個因數的多個復本。例如， ，外部循環求出因數2和3。內部循環求出2是一個多因數。

void trial_divisio_fac(int n)
{
    int a=2;
    while(a*a<=n)
    {
        while(n%a==0)
        {
            cout<<a<<ends;
            n=n/a;
        }
        a++;
    }
    if(n>1) cout<<n;//n沒有因數
}

上面的代碼解釋比較清楚。為什么這種方法可以得到素數。

因為我們在內層循環中，已經把當前a的所有倍數都去除了。這跟埃斯托尼算法是一樣的。

 

復雜度 如果 ，這種情況下試除法通常都是很有效的。但是如果用來分解更大的整數，試除法就變得非常低效甚至不可用了。這種算法的復雜度是隨着n的增加呈指數級別增長的。

（

試除法是整數分解算法中最簡單和最容易理解的算法。

給定一個合數n（這里，n是待分解的整數），試除法看成是用小於等於的每個素數去試除待分解的整數。如果找到一個數能夠整除除盡，這個數就是待分解整數的因子。

).

例9.29

運用試除算法求1233的因數。

1233=3^2*137.