這篇文章是對《算法導論》上Prim算法求無向連通圖最小生成樹的一個總結，其中有關於我的一點點小看法。
最小生成樹的具體問題可以用下面的語言闡述：
輸入：一個無向帶權圖G=(V,E)，對於每一條邊(u, v)屬於E，都有一個權值w。
輸出：這個圖的最小生成樹，即一棵連接所有頂點的樹，且這棵樹中的邊的權值的和最小。
舉例如下，求下圖的最小生成樹：
這個問題是求解一個最優解的過程。那么怎樣才算最優呢？
首先我們考慮最優子結構：如果一個問題的最優解中包含了子問題的最優解，則該問題具有最優子結構。
最小生成樹是滿足最優子結構的，下面會給出證明：
最優子結構描述：假設我們已經得到了一個圖的最小生成樹(MST) T，(u, v)是這棵樹中的任意一條邊。如圖所示：
現在我們把這條邊移除，就得到了兩科子樹T1和T2，如圖：
T1是圖G1=(V1, E1)的最小生成樹，G1是由T1的頂點導出的圖G的子圖，E1={(x, y)∈E, x, y ∈V1}
同理可得T2是圖G2=(V2, E2)的最小生成樹，G2是由T2的頂點導出的圖G的子圖，E2={(x, y)∈E, x, y ∈V2}
現在我們來證明上述結論：使用剪貼法。w(T)表示T樹的權值和。
首先權值關系滿足：w(T) = w(u, v)+w(T1)+w(T2)
假設存在一棵樹T1'比T1更適合圖G1，那么就存在T'={(u,v)}UT1'UT2'，那么T'就會比T更適合圖G，這與T是最優解相矛盾。得證。
因此最小生成樹具有最優子結構，那么它是否還具有重疊子問題性質呢？我們可以發現，不管刪除那條邊，上述的最優子結構性質都滿足，都可以同樣求解，因此是滿足重疊子問題性質的。
考慮到這，我們可能會想：那就說明最小生成樹可以用動態規划來做咯？對，可以，但是它的代價是很高的。
我們還能發現，它還有個更強大的性質：貪心選擇性質。因而可用貪心算法完成。
貪心算法特點：一個局部最優解也是全局最優解。
最小生成樹的貪心選擇性質：令T為圖G的最小生成樹，另A⊆V，假設邊(u, v)∈E是連接着A到A的補集（也就是V-A)的最小權值邊，那么(u, v)屬於最小生成樹。
證明：假設(u, v)∉T， 使用剪貼法。現在對下圖進行分析，圖中A的點用空心點表示，V-A的點用實心點表示：
在T樹中，考慮從u到v的一條簡單路徑（注意現在(u, v)不在T中），根據樹的性質，它是唯一的。
現在把(u, v)和這條路上中的第一條連接A和V-A的邊交換，即畫紅杠的那條邊，邊(u, v)是連接A和V-A的權值最小邊，那我們就得到了一棵更小的樹，這就與T是最小 生成樹矛盾。得證。
現在呢，我們來看看Prim的思想：Prim算法的特點是集合E中的邊總是形成單棵樹。樹從任意根頂點s開始，並逐漸形成，直至該樹覆蓋了V中所有頂點。每次添加到樹中的邊都是使樹的權值盡可能小的邊。因而上述策略是“貪心”的。
算法的輸入是無向連通圖G=(V, E)和待生成的最小生成樹的根r。在算法的執行過程中，不在樹中的所有頂點都放在一個基於key域的最小優先級隊列Q中。對每個頂點v來說，key[v]是所有將v與樹中某一頂點相連的邊中的最小權值；按規定如果不存在這樣的邊，則key[v]=∞。
實現Prim算法的偽代碼如下所示：
MST-PRIM(G, w, r)
for each u∈V
do key[u] ← ∞
parent[u]← NIL
key[r] ← 0
Q ← V
while Q ≠∅
do u ← EXTRACT-MIN(Q)
for each v∈Adj[u]
do if v∈Q and w(u, v) < key[v]
then parent[v] ← u
key[v] ← w(u, v)
其工作流程為：
（1）首先進行初始化操作，將所有頂點入優先隊列，隊列的優先級為權值越小優先級越高
（2）取隊列頂端的點u，找到所有與它相鄰且不在樹中的頂點v，如果w(u, v) < key[v]，說明這條邊比之前的更優，加入到樹中，即更改父節點和key值。這中間還 隱含着更新Q的操作（降key值）
（3）重復2操作，直至隊列空為止。
（4）最后我們就得到了兩個數組，key[v]表示樹中連接v頂點的最小權值邊的權值，parent[v]表示v的父結點。
現在呢，我們發現一個問題，這里要用到優先隊列來實現這個算法，而且每次搜索鄰接表都要進行隊列更新的操作。
不管用什么方法，總共用時為O(V*T(EXTRACTION)+E*T(DECREASE))
（1）如果用數組來實現，總時間復雜度為O(V2)
（2）如果用二叉堆來實現，總時間復雜度為O(ElogV)
（3）如果使用斐波那契堆，總時間復雜度為O(E+VlogV)
上面的三種方法，越往下時間復雜度越好，但是實現難度越高，而且每次對最小優先隊列的更新是非常麻煩的，那么，有沒有一種方法，可以不更新優先隊列也達到同樣的 效果呢？
答案是：有。
其實只需要簡單的操作就可以達到。首次只將根結點入隊列。第一次循環，取出隊列頂結點，將其退隊列，之后找到隊列頂的結點的所有相鄰頂點，若有更新，則更新它們的key值后，再將它們壓入隊列。重復操作直至隊列空為止。因為對樹的更新是局部的，所以只需將相鄰頂點key值更新即可。push操作的復雜度為O(logV)，而且省去了之前將所有頂點入隊列的時間，因而總復雜度為O(ElogV)。
具體實現代碼，優先隊列可以用STL實現：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <vector> 4 #include <queue> 5 using namespace std; 6 7 #define maxn 110 //最大頂點個數 8 int n, m; //頂點數，邊數 9 10 struct arcnode //邊結點 11 { 12 int vertex; //與表頭結點相鄰的頂點編號 13 int weight; //連接兩頂點的邊的權值 14 arcnode * next; //指向下一相鄰接點 15 arcnode() {} 16 arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {} 17 }; 18 19 struct vernode //頂點結點，為每一條鄰接表的表頭結點 20 { 21 int vex; //當前定點編號 22 arcnode * firarc; //與該頂點相連的第一個頂點組成的邊 23 }Ver[maxn]; 24 25 void Init() //建立圖的鄰接表需要先初始化，建立頂點結點 26 { 27 for(int i = 1; i <= n; i++) 28 { 29 Ver[i].vex = i; 30 Ver[i].firarc = NULL; 31 } 32 } 33 34 void Insert(int a, int b, int w) //尾插法，插入以a為起點，b為終點，權為w的邊，效率不如頭插，但是可以去重邊 35 { 36 arcnode * q = new arcnode(b, w); 37 if(Ver[a].firarc == NULL) 38 Ver[a].firarc = q; 39 else 40 { 41 arcnode * p = Ver[a].firarc; 42 if(p->vertex == b) 43 { 44 if(p->weight > w) 45 p->weight = w; 46 return ; 47 } 48 while(p->next != NULL) 49 { 50 if(p->next->vertex == b) 51 { 52 if(p->next->weight > w); 53 p->next->weight = w; 54 return ; 55 } 56 p = p->next; 57 } 58 p->next = q; 59 } 60 } 61 void Insert2(int a, int b, int w) //頭插法，效率更高，但不能去重邊 62 { 63 arcnode * q = new arcnode(b, w); 64 if(Ver[a].firarc == NULL) 65 Ver[a].firarc = q; 66 else 67 { 68 arcnode * p = Ver[a].firarc; 69 q->next = p; 70 Ver[a].firarc = q; 71 } 72 } 73 struct node //保存key值的結點 74 { 75 int v; 76 int key; 77 friend bool operator<(node a, node b) //自定義優先級，key小的優先 78 { 79 return a.key > b.key; 80 } 81 }; 82 83 #define INF 0xfffff //權值上限 84 int parent[maxn]; //每個結點的父節點 85 bool visited[maxn]; //是否已經加入樹種 86 node vx[maxn]; //保存每個結點與其父節點連接邊的權值 87 priority_queue<node> q; //優先隊列stl實現 88 void Prim() //s表示根結點 89 { 90 for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化 91 { 92 vx[i].v = i; 93 vx[i].key = INF; 94 parent[i] = -1; 95 visited[i] = false; 96 } 97 vx[1].key = 0; 98 q.push(vx[1]); 99 while(!q.empty()) 100 { 101 node nd = q.top(); //取隊首，記得趕緊pop掉 102 q.pop(); 103 if(visited[nd.v]) //注意這一句的深意，避免很多不必要的操作 104 continue; 105 visited[nd.v] = true; 106 arcnode * p = Ver[nd.v].firarc; 107 while(p != NULL) //找到所有相鄰結點，若未訪問，則入隊列 108 { 109 if(!visited[p->vertex] && p->weight < vx[p->vertex].key) 110 { 111 parent[p->vertex] = nd.v; 112 vx[p->vertex].key = p->weight; 113 vx[p->vertex].v = p->vertex; 114 q.push(vx[p->vertex]); 115 } 116 p = p->next; 117 } 118 } 119 } 120 121 int main() 122 { 123 int a, b ,w; 124 cout << "輸入n和m: "; 125 cin >> n >> m; 126 Init(); 127 cout << "輸入所有的邊:" << endl; 128 while(m--) 129 { 130 cin >> a >> b >> w; 131 Insert2(a, b, w); 132 Insert2(b, a, w); 133 } 134 Prim(); 135 cout << "輸出所有結點的父結點:" << endl; 136 for(int i = 1; i <= n; i++) 137 cout << parent[i] << " "; 138 cout << endl; 139 cout << "最小生成樹權值為："; 140 int cnt = 0; 141 for(int i = 1; i <= n; i++) 142 cnt += vx[i].key; 143 cout << cnt << endl; 144 return 0; 145 }
(當明確知道沒有重邊時，用Insert2()進行插入能提高效率）
運行結果如下（基於第一個例子）：
可用下列題進行測試：HDU搜索“暢通工程” POJ 1251
接下來是鄰接矩陣實現，非常簡單，但是有幾點還是需要注意的：
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <queue> 4 using namespace std; 5 6 #define maxn 110 7 #define INF 100020 //預定於的最大值 8 int n; //頂點數、邊數 9 int g[maxn][maxn]; //鄰接矩陣表示 10 11 struct node //保存key值的結點 12 { 13 int v; 14 int key; 15 friend bool operator<(node a, node b) //自定義優先級，key小的優先 16 { 17 return a.key > b.key; 18 } 19 }; 20 int parent[maxn]; //每個結點的父節點 21 bool visited[maxn]; //是否已經加入樹種 22 node vx[maxn]; //保存每個結點與其父節點連接邊的權值 23 priority_queue<node> q; //優先隊列stl實現 24 void Prim() //s表示根結點 25 { 26 for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化 27 { 28 vx[i].v = i; 29 vx[i].key = INF; 30 parent[i] = -1; 31 visited[i] = false; 32 } 33 vx[1].key = 0; 34 q.push(vx[1]); 35 while(!q.empty()) 36 { 37 node nd = q.top(); //取隊首，記得趕緊pop掉 38 q.pop(); 39 if(visited[nd.v] == true) //深意，因為push機器的可能是重復但是權值不同的點，我們只取最小的 40 continue; 41 int st = nd.v; 42 //cout << nd.v << " " << nd.key << endl; 43 visited[nd.v] = true; 44 for(int j = 1; j <= n; j++) 45 { 46 if(j!=st && !visited[j] && g[st][j] < vx[j].key) //判斷 47 { 48 parent[j] = st; 49 vx[j].key = g[st][j]; 50 q.push(vx[j]); 51 52 } 53 } 54 } 55 } 56 int main() 57 { 58 while(~scanf("%d", &n)) //點的個數 59 { 60 for(int i = 1; i <= n; i++) //輸入鄰接矩陣 61 for(int j = 1; j <= n; j++) 62 { 63 scanf("%d", &g[i][j]); 64 if(g[i][j] == 0) 65 g[i][j] = INF; //注意0的地方置為INF 66 } 67 Prim(); //調用 68 int ans = 0; //權值和 69 for(int i = 1; i <= n; i++) 70 ans += vx[i].key; 71 printf("%d\n", ans); 72 73 } 74 return 0; 75 }
題目：POJ 1258
望支持，謝謝。