Prim算法

1.概覽

普里姆算法（Prim算法）。圖論中的一種算法，可在加權連通圖里搜索最小生成樹。意即由此算法搜索到的邊子集所構成的樹中。不但包括了連通圖里的全部頂點（英語：Vertex (graph theory)），且其全部邊的權值之和亦為最小。該算法於1930年由捷克數學家沃伊捷赫·亞爾尼克（英語：Vojtěch Jarník）發現。並在1957年由美國計算機科學家羅伯特·普里姆（英語：Robert C. Prim）獨立發現。1959年，艾茲格·迪科斯徹再次發現了該算法。

因此，在某些場合，普里姆算法又被稱為DJP算法、亞爾尼克算法或普里姆－亞爾尼克算法。

 

2.算法簡單描寫敘述

1).輸入：一個加權連通圖。當中頂點集合為V，邊集合為E；

2).初始化：V_new = {x}，當中x為集合V中的任一節點（起始點），E_new = {},為空；

3).反復下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，當中u為集合V_new中的元素。而v不在V_new集合當中。而且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有同樣權值的邊，則可隨意選取當中之中的一個）；

b.將v增加集合V_new中，將<u, v>邊增加集合E_new中。

4).輸出：使用集合V_new和E_new來描寫敘述所得到的最小生成樹。

 

以下對算法的圖例描寫敘述

圖例	說明	不可選	可選	已選（Vnew）
	此為原始的加權連通圖。每條邊一側的數字代表其權值。	-	-	-
	頂點D被隨意選為起始點。頂點A、B、E和F通過單條邊與D相連。A是距離D近期的頂點。因此將A及對應邊AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一個頂點為距離D或A近期的頂點。B距D為9，距A為7。E為15。F為6。因此，F距D或A近期，因此將頂點F與對應邊DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法繼續反復上面的步驟。距離A為7的頂點B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在當前情況下，能夠在C、E與G間進行選擇。C距B為8，E距B為7，G距F為11。E近期。因此將頂點E與對應邊BE高亮表示。	無	C, E, G	A, D, F, B
	這里。可供選擇的頂點僅僅有C和G。C距E為5。G距E為9，故選取C，並與邊EC一同高亮表示。	無	C, G	A, D, F, B, E
	頂點G是唯一剩下的頂點，它距F為11，距E為9，E近期。故高亮表示G及對應邊EG。	無	G	A, D, F, B, E, C
	如今，全部頂點均已被選取，圖中綠色部分即為連通圖的最小生成樹。在此例中，最小生成樹的權值之和為39。	無	無	A, D, F, B, E, C, G

 

3.簡單證明prim算法

反證法：如果prim生成的不是最小生成樹

1).設prim生成的樹為G₀

2).如果存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   則在G_min中存在<u,v>不屬於G₀

3).將<u,v>增加G₀中可得一個環。且<u,v>不是該環的最長邊(這是由於<u,v>∈G_min)

4).這與prim每次生成最短邊矛盾

5).故如果不成立，命題得證.

 

 

 4.算法代碼實現(未檢驗)

#define MAX  100000
#define VNUM  10+1                                             //這里沒有ID為0的點,so id號范圍1~10

int edge[VNUM][VNUM]={/*輸入的鄰接矩陣*/};
int lowcost[VNUM]={0};                                         //記錄Vnew中每一個點到V中鄰接點的最短邊
int addvnew[VNUM];                                             //標記某點是否增加Vnew
int adjecent[VNUM]={0};                                        //記錄V中與Vnew最鄰近的點


void prim(int start)
{
     int sumweight=0;
     int i,j,k=0;

     for(i=1;i<VNUM;i++)                                      //頂點是從1開始
     {
        lowcost[i]=edge[start][i];
        addvnew[i]=-1;                                         //將全部點至於Vnew之外,V之內，這里僅僅要對應的為-1，就表示在Vnew之外
     }

     addvnew[start]=0;                                        //將起始點start增加Vnew
     adjecent[start]=start;
                                                 
     for(i=1;i<VNUM-1;i++)                                        
     {
        int min=MAX;
        int v=-1;
        for(j=1;j<VNUM;j++)                                      
        {
            if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min)                 //在Vnew之外尋找最短路徑
            {
                min=lowcost[j];
                v=j;
            }
        }
        if(v!=-1)
        {
            printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
            addvnew[v]=0;                                      //將v加Vnew中

            sumweight+=lowcost[v];                             //計算路徑長度之和
            for(j=1;j<VNUM;j++)
            {
                if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])      
                {
                    lowcost[j]=edge[v][j];                     //此時v點增加Vnew 須要更新lowcost
                    adjecent[j]=v;                             
                }
            }
        }
    }
    printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}

 

5.時間復雜度

這里記頂點數v，邊數e

鄰接矩陣:O(v²)                 鄰接表:O(elog₂v)

 

 

 

Kruskal算法

 

1.概覽

Kruskal算法是一種用來尋找最小生成樹的算法，由Joseph Kruskal在1956年發表。用來解決同樣問題的還有Prim算法和Boruvka算法等。三種算法都是貪婪算法的應用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在圖中存在同樣權值的邊時也有效。

 

2.算法簡單描寫敘述

1).記Graph中有v個頂點。e個邊

2).新建圖Graph_new，Graph_new中擁有原圖中同樣的e個頂點，但沒有邊

3).將原圖Graph中全部e個邊按權值從小到大排序

4).循環：從權值最小的邊開始遍歷每條邊 直至圖Graph中全部的節點都在同一個連通分量中

                if 這條邊連接的兩個節點於圖Graph_new中不在同一個連通分量中

                                         增加這條邊到圖Graph_new中

 

圖例描寫敘述：

首先第一步。我們有一張圖Graph，有若干點和邊 

 

將全部的邊的長度排序，用排序的結果作為我們選擇邊的根據。

這里再次體現了貪心算法的思想。資源排序，對局部最優的資源進行選擇，排序完畢后。我們領先選擇了邊AD。這樣我們的圖就變成了右圖

 

 

 

在剩下的變中尋找。我們找到了CE。

這里邊的權重也是5

依次類推我們找到了6,7,7，即DF。AB，BE。

以下繼續選擇， BC或者EF雖然如今長度為8的邊是最小的未選擇的邊。可是如今他們已經連通了（對於BC能夠通過CE,EB來連接，相似的EF能夠通過EB,BA,AD,DF來接連）。所以不須要選擇他們。

相似的BD也已經連通了（這里上圖的連通線用紅色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。當然我們選擇了EG。

最后成功的圖就是右：

 

 

 

3.簡單證明Kruskal算法

對圖的頂點數n做歸納，證明Kruskal算法對隨意n階圖適用。

歸納基礎：

n=1。顯然能夠找到最小生成樹。

歸納過程：

如果Kruskal算法對n≤k階圖適用，那么，在k+1階圖G中。我們把最短邊的兩個端點a和b做一個合並操作，即把u與v合為一個點v'。把原來接在u和v的邊都接到v'上去。這樣就能夠得到一個k階圖G'(u,v的合並是k+1少一條邊)，G'最小生成樹T'能夠用Kruskal算法得到。

我們證明T'+{<u,v>}是G的最小生成樹。

用反證法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成樹，最小生成樹是T。即W(T)<W(T'+{<u,v>})。

顯然T應該包括<u,v>，否則，能夠用<u,v>增加到T中，形成一個環，刪除環上原有的隨意一條邊，形成一棵更小權值的生成樹。而T-{<u,v>}。是G'的生成樹。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')。也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，產生了矛盾。於是如果不成立。T'+{<u,v>}是G的最小生成樹。Kruskal算法對k+1階圖也適用。

由數學歸納法，Kruskal算法得證。

 

 

 

4.代碼算法實現

typedef struct          
{        
    char vertex[VertexNum];                                //頂點表         
    int edges[VertexNum][VertexNum];                       //鄰接矩陣,可看做邊表         
    int n,e;                                               //圖中當前的頂點數和邊數         
}MGraph; 
 
typedef struct node  
{  
    int u;                                                 //邊的起始頂點   
    int v;                                                 //邊的終止頂點   
    int w;                                                 //邊的權值   
}Edge; 

void kruskal(MGraph G)  
{  
    int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;  
    int vset[VertexNum];                                    //輔助數組。判定兩個頂點是否連通   
    int E[EdgeNum];                                         //存放全部的邊   
    k=0;                                                    //E數組的下標從0開始   
    for (i=0;i<G.n;i++)  
    {  
        for (j=0;j<G.n;j++)  
        {  
            if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)  
            {  
                E[k].u=i;  
                E[k].v=j;  
                E[k].w=G.edges[i][j];  
                k++;  
            }  
        }  
    }     
    heapsort(E,k,sizeof(E[0]));                            //堆排序，按權值從小到大排列       
    for (i=0;i<G.n;i++)                                    //初始化輔助數組   
    {  
        vset[i]=i;  
    }  
    k=1;                                                   //生成的邊數，最后要剛好為總邊數   
    j=0;                                                   //E中的下標   
    while (k<G.n)  
    {   
        sn1=vset[E[j].u];  
        sn2=vset[E[j].v];                                  //得到兩頂點屬於的集合編號   
        if (sn1!=sn2)                                      //不在同一集合編號內的話，把邊增加最小生成樹   
        {
            printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);       
            k++;  
            for (i=0;i<G.n;i++)  
            {  
                if (vset[i]==sn2)  
                {  
                    vset[i]=sn1;  
                }  
            }             
        }  
        j++;  
    }  
}  

時間復雜度：elog₂e  e為圖中的邊數