平均數、中位數和眾數及它們之間的關系

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本文內容

• 平均數
• 中位數
• 眾數
• 參考資料
• 演示

最近大 BOSS“迷上”了一個網絡游戲（什么游戲就不多說啦～），讓我寫個程序幫他算一下（現在他讓另一個同事寫了，我要改 bug 沒時間，所以，我主要是沒事時“湊熱鬧”提點想法）。期間，發現這個游戲一定是基於某個數學模型，於是在網上找了一個 VaR 模型，雖然現在覺得正態分布更合適。 VaR 模型最初是 J.P Morgan 用來預測金融風險的數學模型，現在有很多改進型。我對里邊使用的一些統計名詞有些模糊，就找資料回憶了一下，畢竟我不是學統計學的，雖然知道點，但認識得不深、不系統。

本文主要說明平均數、中位數和眾數，以及它們之間的關系，這三種的目的類似，都是為了反應一組數據的一般情況（代表性），只是適用的場景不同。我們對平均數很熟悉，但它並不是“萬能的”，若數據中出現極大或極小值，則平均數受到的影響很大，而中位數則不會。這也就是為什么，早先一些娛樂節目，台下的評委評分后，主持人會去掉一個最小分數和一個最大分數，再取平均數的原因。或是，上學時，老師對成績差的學生會特別“憤怒”，常說“你拉下了全班的成績”、“拖了大家的后退~”。

平均數

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平均數（Mean），或均值是統計中的一個重要概念。是集中趨勢的最常用測度值，目的是確定一組數據的均衡點。這里的平均數是指算術平均數，即一組數據的和除以這組數據的個數所得的平均值，也叫算術平均值。

計算

平均數的計算公式為：

在統計中，算術平均數常用於表示統計對象的一般水平，描述數據集中程度的一個量。我們既可以用它來反映一組數據的一般情況，也可以用它進行不同組數據的比較，以便看出組與組之間的差別。用平均數可以直觀、簡明地表示一組數據的情況，所以日常生活中經常用到，如中小學學生的平均身高，由於生活條件的改善，現在孩子的身高肯定比80年代要高；平均成績，這個一定不陌生，上學時，老師對成績差的學生會特別“憤怒”，常說“你拉下了全班的成績”、“拖了大家的后退~”。

統計學上，算術平均數較中位數、眾數更少地受到隨機因素影響，但缺點是它更容易受到極端值影響。

除了算術平均數，還有幾何平均數、調和平均數、平方平均數、移動平均數等。

算術平均數用於數值型數據，不能用於分類數據和順序數據。

示例

若有包含 7 個數值的數組 ，則算術平均數為 24.7。

若有包含 8 個數值的數組 ，則算術平均數為 25.7。

平均數很簡單，但引出它主要是為了跟后面的中位數和眾數進行比較。

中位數

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中位數（Medians）是一個統計學的專有名詞，代表一個樣本、種群或概率分布中的一個數值，可以將數值集合划分為相等的兩部分，即，若設連續隨機變量 X 的分布函數為 F(X)，那么滿足條件 F(X)=1/2 ，稱為 X 或分布 F 的中位數。中位數是用來衡量集中趨勢的方法。對於一個有限的、有序的數集，位於中間位置的那個數值就是中位數，用 Me 表示。

“中位數”中的“位”，即“位置”，看后“意義”小節，你會理解這段話的意思。

計算

若集合的項數為奇數，則處於中間位置的數據為中位數；若項數為偶數，則中位數為處於中間位置的兩個數值的算術平均數。

實數 ，按大小順序（降序、升序都可）排列為 。則實數數列 的中位數為 ：

示例

若有包含7個數值的數組 ，按升序為 ，則中位數為 23。

若有包含8個數值的數組 ，按升序為 ，則中位數為 (23+25)/2=24。

意義——算術平均數與中位數

中位數趨於數據集合的中間，是所有數據的代表值，它不受分布數列的極大或極小值影響，對極大極小值不敏感，一定程度上提高了中位數對分布數列的代表性。有些離散型變量的單項式數列，當次數分布偏態時，中位數的代表性會受到影響。

中位數的作用與算術平均數相近，也是作為數據的代表值。在一個等差數列或一個正態分布數列中，中位數就等於算術平均數。

在數列中出現了極端值的情況下，用中位數作為代表值比算術平均數更好。如果研究的目的是為了反映中間水平，應該用中位數。在統計數據的處理和分析時，可結合使用中位數。

例如，有序組數 x=(200, 250, 300, 1000，2000)，其平均數為 750，中位數為 300，因為一半比 300 多，另一個半比 300 少；若有序數組為 x=(200，250，300，500，1000)，其平均數變為 450，但中位數還是 300。

因此，平均數的變化較大。而中位數相對於平均數不太受極大極小值的影響。

眾數

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眾數（Statistical Mode）是數據中出現頻率最多的數。用眾數代表一組數據，適合於數據量較多時使用，且眾數不受極端數據的影響，並且求法簡便。在一組數據中，如果個別數據有很大的變動，選擇中位數表示這組數據的“集中趨勢”就比較適合。

當數值或被觀察者沒有明顯次序（常發生於非數值性資料）時特別有用，由於可能無法良好定義算術平均數和中位數。例子：(蘋果, 蘋果, 香蕉, 橙, 橙, 橙, 桃) 的眾數是“橙”。

一組數據可能沒有眾數或有多個眾數。在高斯分布（正態分布）中，眾數位於峰值。

眾數主要用於分類數據，也可用於順序數據和數值型數據。

示例

若有數組  (2, 2, 3, 3, 4)，則其眾數為 (2, 3)；若數組為 (1, 2, 3, 4) ，則其沒有眾數。

算術平均數、中位數和眾數之間的關系

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平均數、中位數和眾數三者之間，一個有趣的經驗關系是：

參考資料

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• Wiki 平均數
• Wiki 中位數
• wolfram MathWorld 中位數
• Wiki 眾數

演示

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