[算法][龐果網]倒水問題/量水問題

題目要求

有兩個容器，容積分別為A升和B升，有無限多的水，現在需要C升水。
我們還有一個足夠大的水缸，足夠容納C升水。起初它是空的，我們只能往水缸里倒入水，而不能倒出。
可以進行的操作是：
把一個容器灌滿；
把一個容器清空（容器里剩余的水全部倒掉，或者倒入水缸）；
用一個容器的水倒入另外一個容器，直到倒出水的容器空或者倒入水的容器滿。
    問是否能夠通過有限次操作，使得水缸最后恰好有C升水。

輸入：三個整數A, B, C，其中 0 < A , B, C <= 1000000000
輸出：0或1，表示能否達到要求。

函數頭部：
c語言：1表示可以，0表示不可以
int can(int a,int b,int c);
c++語言: true表示可以，false表示不可以
bool can(int a,int b,int c);
java語言:true表示可以，false表示不可以
public class Main {
    public static boolean can(int a,int b,int c);
}

解題思路

這是一個典型的倒水問題/量水問題，使用歐幾里得算法就可解出來。

 

這里有一篇文章給出了簡單的倒水問題的解法，可以解決筆試面試里面一些簡單的填空題，可以看一看： http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/7481851

基本思想是：不斷用小桶裝水倒入大桶，大桶滿了立即清空，每次判斷下二個桶中水的容量是否等於指定容量。也就是用小桶容量的倍數對大桶的容量進行取余，直到余數等於指定容量。

例如，用7升的桶和11升的桶得到2升水可以這樣做：
7 % 11 = 7
14 % 11 = 3
21 % 11 = 10
28 % 11 = 6
35 % 11 = 2  成功得到2升水。

對於明確說明可以得到xx升水，需要我們給出如何倒出來的步驟，可以用這個方法，很快捷。但是這個方法不適合解這道題。

 

歐幾里德算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個正整數a，b的最大公約數。

用gcd(a,b) 表示a, b的最大公約數，則有定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不為0)

具體的算法實現有循環和遞歸兩種，我用的是循環的方法。

 

擴展歐幾里得算法
定理：對於不完全為 0 的非負整數 a,b，gcd(a, b)表示 a, b 的最大公約數，必然存在整數對 x, y ，使得 gcd(a,b)=ax+by。

 

本題實際上是問是否存在整數x, y，使得ax+by=c成立。 如果c可以被gcd(a,b)整除，則成立。

 

因此解題步驟如下：

1. 求出gcd(a,b)
2. 判斷c是否能被gcd(a,b)整除，若能則返回true，否則返回false

Java代碼

public static boolean can(int a,int b,int c) {
    int r;
    while (true) {
        r = a % b;
        if (r != 0) {
            a = b;
            b = r;
        } else {
            break;
        }
    } 
    return c%b == 0;    //b現在是最大公約數，若c能被b整除，則可以
}