經典問題----倒水

倒水

　　有兩個容器，容積分別為A升和B升，有無限多的水，現在需要C升水。 我們還有一個足夠大的水缸，足夠容納C升水。起初它是空的，我們只能往水缸里倒入水，而不能倒出。 可以進行的操作是： 把一個容器灌滿； 把一個容器清空（容器里剩余的水全部倒掉，或者倒入水缸）； 用一個容器的水倒入另外一個容器，直到倒出水的容器空或者倒入水的容器滿。     問是否能夠通過有限次操作，使得水缸最后恰好有C升水。

輸入：三個整數A, B, C，其中 0 < A , B, C <= 1000000000                輸出：0或1，表示能否達到要求。

函數頭部： c語言：1表示可以，0表示不可以 int can(int a,int b,int c);

c++語言: true表示可以，false表示不可以 bool can(int a,int b,int c);

java語言:true表示可以，false表示不可以 public class Main {public static boolean can(int a,int b,int c); } 

分析

　　經典的倒水問題，有不少公司也出了類似的面試題目，有的以選擇題形式出現，也有編程題形式出現的，下面做簡要的分析：

　　對題目做簡要的處理分析后，C升水是可以分多次倒入的，假設A > B，那么每次可以倒的水的量為A , B , (A + B) ,( A - B)升水，設置4個因子，分別為x₁ ,  x₂,  x₃,  x₄ , (x1 , x2, x3, x4 屬於整數)，如果可以使得水缸最后恰好有C升水，那么必然存在整數x₁ , x₂, x₃, x₄，使得

　　　　　　　　　　Ax₁ + Bx₂ +  (A + B)x₃  + (A - B)x₄  = C    等式成立;

　　對等式做一定的變換，得到公式

　　　　　　　　　　(x₁ + x₃ + x₄)A + (x₂ + x₃ - x₄)B = C ;     --( 1-1 )

　　設 x = x₁ + x₃ + x₄ , y = x₂ + x₃ - x₄ ,  x, y 均為整數;最終得到公式

　　　　　　　　　　xA + yB = C ;                                               --( 1-2 )       

　　 x₁ ,  x₂,  x₃,  x₄ 可以假設為正整數，用幾個for循環可以實現，但是時間復雜度太大，為O(N⁴)，題目中給的范圍是0 < A , B, C <= 1000000000;整數在十億范圍，顯然運行時間肯定會超過 3s ，不符合要求，那有沒有更加合適的方法呢，在算法的書里面，有一個算法，與公式( 1-2 ) 不謀而合，是擴展的歐幾里德算法，算法描述：

定理：

　　對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by.

　　

　　根據歐幾里德擴展算法，Gcd(A, B) = Ax + By，求出A和B的最大公約數，如果C能被最大公約數整除Gcd(A, B) 整除，那就可以實現水缸里恰好為C升水；

　　那題目就直接轉換為求A 、B的最大公約數了，求公約數可以用輾轉相除法，代碼如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
//求最大公約數
int gcd(int a, int b)
{
    int m = a, n = b , r = 1;
    while(1)
    {
        r = m % n;
        if(r == 0)
        {
            return n;
        }
        else
        {
            m = n;
            n = r;
        }
    }
}
//返回值1表示能使得水缸恰好有C升水，0表示不能
int can(int a,int b,int c)
{
    int result = 0;
    result = gcd(a,b);
    if(c % result == 0 )
    {
        return 1;
    }
    else
    {
        return 0;
    }
}
int main(void)
{
    int A , B , C;
    A = 1234567;
    B = 7654321;
    C = 9999999;
    printf("the result is %d",can(A,B,C));
    return 0;
}

同樣，附帶幾個測試用例：

輸入：A = 1234567,  B = 7654321 ,  C = 9999999,  輸出：result = 1;

輸入：A = 9999,  B = 5555,  C = 2222,   輸出：result = 1;

輸入：A = 1000000000,   B = 2,   C = 1 ,  輸出：result = 0.

 

下面是做一個實例演示：假設A = 11 , B =39 , C = 2，返回值為1，說明可以實現，為方便敘述，采用A(11) , B(39)表示容器，步驟如下：

1、   將容器 B(39) 倒滿水，然后3次倒入 A(11) 容器中，那么 B(39) 剩下 39 - 11 * 3 = 6升水，此時A(11)可用；
2、   把 B(39) 中的 6 升水全部倒入容器 A(11) 中，那么容器 A(11) 中有 6 升水，5 升是空的，此時B(39)可用；
3、   把 B(39) 倒滿水，然后往第2步得到的 A(11 )倒入直到 A(11) 滿為止，那B(39)剩下 39 - 5 = 34 升水，清空 A(11) ，此時A(11)可用；

4、   步驟3得到的 B(39) 容器有34升水，3次倒入 A(11)中，那 B(39)中剩下 34 - 11 * 3= 1升水，此時 A(11)可用；

5、   把步驟4的 1 升水倒入水缸，清空 A(11) 和 B(39)，重做步驟1 - 4，再往水缸倒入1升水，那水缸里就是 1 + 1 = 2 升水了。