倒水問題(《怎樣解題》中的經典問題)

[問題]有兩個容桶，小桶的容量是4升，大桶的容量是9升，怎樣才能從河中恰好打上6升水呢？
[解析]
       方法1：規約法(以下內容引自《How To Solve It》)
             讓我們弄消楚所給定的工具，我們必須用這兩個容器來工作(已知的是什么？)。
             目前我們還不知道怎樣去量出恰好6升，但我們是否能測量其他某個東西？(如果你不能解決所提問題，首先去解決某個與此有關的問題。你能從已知數據導出來些有用的東西嗎？)
             讓我們做點事，我們能夠把大桶裝滿，然后倒掉小桶那么多；這樣，我們就能夠得到5升水。我們能不能也得到6升水呢？
             當碰到這個難題時，我們就像絕大多數人所做的那樣。我們從兩個空桶開始，試試這個，試試那個，我們倒空又裝滿，而當我們不成功時，我們重新開始，試試別的做法。我們在向前干，即，從給定的初始情況到所期望的最終情況，從已知數據到未知數。經過多次試驗，我們偶爾也會成功(正向試錯)。
             但是有卓越才能的人，或者從數學課中所學到的不僅僅是套公式演算的人，不會在這種試驗里浪費太多的時間，而是回過頭去開始“倒着干”。
             要求我們干的是什么？(未知數是什么？)讓我們盡可能清楚地想象一下我們所要達到的最后解答是怎樣的。讓我們設想，在我們面前，大桶中正好有6升水，而小桶空空如也(讓我們“從所要求的開始，並設所要求的已求得”)。
             從前面什么情況我們能夠得到期望的最終情況呢(讓我們“研究從什么前項可導出所求結果”)？當然，我們能夠灌滿大桶，即灌到9升。
            但是，接着我們應該能夠正好倒掉3升。而為了做到這點，我們必須在小桶中正好有1升水!這就是念頭。我們剛才所完成的一步全然並非易事。很少人能夠毫不猶豫地想到它。事實上，認識到這一步的意義，我們就可預見到下面求解的一個梗概。
           可是我們怎么達到剛才的情況呢？讓我們“再進一步研究，那個前項的前項是什么？”我們想，於是小桶有1升水可以轉化為大桶有1升水，而后大桶倒到小桶里。怎么能讓大桶剩1升水呢？我們已經遇見過類似的情況，即我們把大桶裝滿水，然后倒出4升給小桶，再由小桶倒入河中，這樣接連干兩次。我們“最后終於碰到某個已知的東西”並且隨着“倒着干”的分析方法，找到了適當的操作序列。
方法2：窮舉法
           其基本思想是：將小桶灌滿后，將其中的水全部倒入大桶，如果在倒入大桶的過程中大桶滿了，則將大桶倒空，繼續將小桶中的水全部倒入大桶。持續這一操作直到大桶中水的體積等於目標體積為止。(也可以從大桶向小桶中倒水，原理是一樣的)
          其數學計算過程為用小桶容量的倍數對大桶的容量進行取余:
          4 % 9 = 4
          8 % 9 = 8
          12 % 9 = 3
          16 % 9 = 7
          20 % 9 = 2
          24 % 9 = 6
          成功得到6升水。
          要注意像用2升的桶和4升的桶得到3升水這種不可解的情況，這種不可解情況在用上面的方法進行計算時會得到循環數列。其根本原因是兩個桶容量的大於1的最大公約數無法被目標體積所整除，如6升的桶和9升的桶無法得到2升水，因為6和9的最大公約數3無法被2整除。