動態規划筆試題

1、最長公共子序列、最長公共子串

最長公共子序列（Longest-Common-Subsequence，LCS）

dp[i][j]：dp[i][j]表示長度分別為i和j的序列X和序列Y構成的LCS的長度
dp[i][j] = 0，如果i=0 或 j=0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，如果 X[i-1] = Y[i-1]
dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }，如果 X[i-1] != Y[i-1]
LCS長度為 dp[Xlen][Ylen]

int dp[100][100];  // 存儲LCS長度, 下標i,j表示序列X,Y長度 
void LCS_dp(char * X, char * Y) 
{
    int i, j;     
    int xlen = strlen(X);     
    int ylen = strlen(Y);       
    // dp[0-xlen][0] & dp[0][0-ylen] 都已初始化0     
    for(i = 1; i <= xlen; ++i)     
    {        
        for(j = 1; j <= ylen; ++j)     
        {             
            if(X[i-1] == Y[j-1]) 
            {                 
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;             
            }
            else if(dp[i][j-1] > dp[i-1][j])             
            {                 
                dp[i][j] = dp[i][j-1];             
            }
            else             
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }         
        }     
    }     
    printf("len of LCS is: %d\n", dp[xlen][ylen]); 
    i = xlen; 
    j = ylen; 
    int k = dp[i][j]; 
    char lcs[100] = {'\0'}; 
    while(i && j) 
    {     
        if(X[i-1] == Y[j-1] && dp[i][j] == dp[i-1][j-1] + 1)     
        {         
            lcs[--k] = X[i-1];         
            --i; --j;     
        }
        else if(X[i-1] != Y[j-1] && dp[i-1][j] > dp[i][j-1])     
        {        
            --i;     
        }
        else     
        {         
            --j;     
        } 
    } 
    printf("%s\n",lcs);
}

最長公共子串（Longest-Common-Substring，LCS）

dp[i][j]：表示X[0-i]與Y[0-j]的最長公共子串長度
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，如果 X[i] == Y[j]
dp[i][j] = 0，如果 X[i] != Y[j]
初始化：i==0或者j==0，如果X[i] == Y[j]，dp[i][j] = 1；否則dp[i][j] = 0。

最長公共子串的長度為max(dp[i][j])。

// 最長公共子串 DP
int dp[100][100];
void LCS_dp(char * X, char * Y) 
{
    int xlen = strlen(X);
    int ylen = strlen(Y);
    int maxlen = 0;
    int maxindex = 0;     
    for(int i = 0; i < xlen; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < ylen; ++j)
        {
            if(X[i] == Y[j])
            {
                if(i && j)
                {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                }
                if(i == 0 || j == 0)
                {
                    dp[i][j] = 1;
                }
                if(dp[i][j] > maxlen)
                {
                    maxlen = dp[i][j];
                    maxindex = i + 1 - maxlen;
                }
            }
        }
    }
    if(maxlen == 0)
    {
        printf("NULL LCS\n");
        return;
    }
    printf("The len of LCS is %d\n",maxlen);
    int i = maxindex;
    while(maxlen--)
    {
        printf("%c",X[i++]);
    }
    printf("\n"); 
}

2、數組中最長遞增子序列：如在序列1,-1,2,-3,4,-5,6,-7中，最長遞增序列為1,2,4,6。

時間復雜度O(N^2)的算法：
LIS[i]：表示數組前i個元素中（包括第i個），最長遞增子序列的長度
LIS[i] = max{ 1, LIS[k]+1 }, 0 <= k < i, a[i]>a[k]

int LIS(int a[], int length)
{
    int *LIS = new int[length];
    for(int i = 0; i < length; ++i)
    {
        LIS[i] = 1; //初始化默認長度
        for(int j = 0; j < i; ++j) //前面最長的序列
            if(a[i] > a[j] && LIS[j]+1 > LIS[i])
                LIS[i] = LIS[j]+1;  
    }
    int max_lis = LIS[0];
    for(int i = 1; i < length; ++i)
        if(LIS[i] > max_lis)
            max_lis = LIS[i];
    return max_lis;  //取LIS的最大值
}

時間復雜度O(NlogN)的算法：
輔助數組b[]，用k表示數組b[]目前的長度，算法完成后k的值即為LIS的長度。
初始化：b[0] = a[0]，k = 1
從前到后掃描數組a[]，對於當前的數a[i]，比較a[i]和b[k-1]：
如果a[i]>b[k-1]，即a[i]大於b[]最后一個元素，b[]的長度增加1，b[k++]=a[i]；
如果a[i]<b[k-1]，在b[1]...b[k]中二分查找第一個大於a[i]的數b[j]，修改b[j]=a[i]。
LIS的長度為k

//修改的二分搜索算法，若要查找的數w在長為len的數組b中存在則返回下標
//若不存在，則返回b數組中的第一個大於w的那個元素的下標
int BiSearch(int *b, int len, int w)
{
    int left = 0, right = len-1;
    int middle;
    while(left <= right)
    {
        middle = (left+right)/2;
        if(b[middle] > w)
            right = middle - 1;
        else if(b[middle] < w)
            left = middle + 1;
        else
            return middle;
    }

    //返回b數組中的剛剛大於w的那個元素的下標
    return (b[middle]>w) ? middle : middle+1;
}

int LIS(int *array, int n)
{
    int *B = new int[n];
    int len = 1;
    B[0] = array[0];

    for(int i=1; i<n; ++i)
    {
        if(array[i] > B[len-1])
        {
            B[len] = array[i];
            ++len;
        }
        else
        {
            int pos = BiSearch(B, len, array[i]);
            B[pos] = array[i];
        }
    }
    delete []B;
    return len;
}

3、計算字符串的相似度（編輯距離）

為了判斷字符串的相似程度，定義了一套操作方法來把兩個不相同的字符串變得相同，具體的操作方法為： 1.修改一個字符。2.增加一個字符。3.刪除一個字符。

比如，對於“abcdefg”和“abcdef”兩個字符串來說，可以通過增加/減少一個“g“的方式來達到目的。上面的兩種方案，都僅需要一次操作。把這個操作所需要的次數定義為兩個字符串的距離，給定任意兩個字符串，寫出一個算法來計算出它們的距離。

設 L(i,j)為使兩個字符串和Ai和Bj相等的最小操作次數。
當ai==bj時 顯然 L(i,j) = L(i-1,j-1)
當ai!=bj時 L(i,j) = min( L(i-1,j-1), L(i-1,j), L(i,j-1) ) + 1

int minValue(int a, int b, int c)
{
    int t = a <= b ? a:b;
    return t <= c ? t:c;
}

int calculateStringDistance(string strA, string strB)
{
    int lenA = (int)strA.length()+1;
    int lenB = (int)strB.length()+1;

    int **c = new int*[lenA];
    for(int i = 0; i < lenA; i++)
        c[i] = new int[lenB];

    for(int i = 0; i < lenA; i++) c[i][0] = i;
    for(int j = 0; j < lenB; j++) c[0][j] = j;
    c[0][0] = 0;
    for(int i = 1; i < lenA; i++)
    {
        for(int j = 1; j < lenB; j++)
        {
            if(strB[j-1] == strA[i-1])
                c[i][j] = c[i-1][j-1];
            else
                c[i][j] = minValue(c[i][j-1], c[i-1][j], c[i-1][j-1]) + 1;
        }
    }

    int ret =  c[lenA-1][lenB-1];

    for(int i = 0; i < lenA; i++)
        delete [] c[i];
    delete []c;

    return ret;
}

4、8*8的棋盤上面放着64個不同價值的禮物，每個小的棋盤上面放置一個禮物（禮物的價值大於0），一個人初始位置在棋盤的左上角，每次他只能向下或向右移動一步，並拿走對應棋盤上的禮物，結束位置在棋盤的右下角，請設計一個算法使其能夠獲得最大價值的禮物。

動態規划算法：  
dp[i][j] 表示到棋盤位置（i，j）上可以得到的最大禮物值  
dp[i][j] = max( dp[i][j-1] , dp[i-1][j] ) + value[i][j]  （0<i，j<n）  

int GetMaxValue(int **dp, int **value)
{
    int i, j, n = 8;  
    dp[0][0] = value[0][0];  
    for(i = 1; i < n; i++)  
    {  
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + value[i][0];  
    }  
    for(j = 1; j < n; j++)  
    {  
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + value[0][j];  
    }  

    for(i = 1; i < n; i++)  
    {  
        for(j = 1; j < n; j++)  
        {  
            dp[i][j] = max(dp[i][j-1] , dp[i-1][j]) + value[i][j];  
        }  
    }  
    return dp[n-1][n-1];
}

5、給定一個整數數組，求這個數組中子序列和最大的最短子序列，如數組a[]={1,2,2,-3,-5,5}子序列和最大為5，最短的為a[5]。

動態規划  
sum[i] = max(sum[i-1]+a[i], a[i]) (sum[0]=a[0],1<=i<=n) 
len[i] = max(len[i-1]+1, 0) (len[0]=0,1<=i<=n)

void max_sub(int a[], int size)
{
    int *sum = new int[size];
    int *len = new int[size];
    int temp_sum = 0;

    sum[0] = a[0];
    len[0] = 0;
    for(int i = 1; i < size; i++)
    {
        temp_sum = sum[i-1] + a[i];
        if(temp_sum > a[i])
        {
            sum[i] = temp_sum;
            len[i] = len[i-1]+1;
        }
        else
        {
            sum[i] = a[i];
            len[i] = 0;
        }
    }
    int index = 0;
    for(int i = 1; i < size; i++)
    {
        if(sum[i] > sum[index])
            index = i;
        else if(sum[i] == sum[index] && len[i] < len[index])
            index = i;
    }
    printf("Max sub sum is %d, from %d to %d",sum[index],index-len[index],index);

    delete []sum;
    delete []len;
}

6、子數組的最大和

狀態方程：
Start[i] = max{A[i], Start[i-1]+A[i]}
All[i] = max{Start[i], All[i-1]}

int MaxSum(int *A, int n)
{
    int * All = new int[n];
    int * Start = new int[n];

    All[0] = Start[0] = A[0];
    for(int i=1; i<n; ++i)
    {
        Start[i] = max(A[i], A[i]+Start[i-1]);
        All[i] = max(Start[i], All[i-1]);
    }
    int max = All[n-1];
    delete []All;
    delete []Start;
    return max;
}

因為Start[i-1]只在計算Start[i]時使用，而且All[i-1]也只在計算All[i]時使用，所以可以只用兩個變量就夠了，節省空間。

int MaxSum(int *A, int n)
{
    int All = A[0];
    int Start = A[0];
    for(int i=1; i<n; ++i)
    {
        Start = max(A[i], A[i]+Start);
        All = max(Start, All);
    }
    return All;
}

7、在數組中，數字減去它右邊的數字得到一個數對之差。求所有數對之差的最大值。例如在數組{2, 4, 1, 16, 7, 5, 11, 9}中，數對之差的最大值是11，是16減去5的結果。

思路：假設f[i]表示數組中前i+1個數的解，前i+1個數的最大值為m[i]。則狀態轉移方程：
f[i] = max(f[i-1], m[i-1] - a[i]), m[i] = max(m[i-1],a[i])。問題的解為f[n-1]。

int MaxDiff_Solution1(int *pArray, int nLen)  
{  
    if(pArray == NULL || nLen <= 1)  
        return 0;  
    int *f = new int[nLen];  
    int *m = new int[nLen];  
  
    f[0] = 0;          //1個數的情況   
    m[0] = pArray[0];  
    for(int i = 1; i < nLen; i++)  
    {  
        f[i] = max(f[i-1], m[i-1] - pArray[i]);  
        m[i] = max(m[i-1], pArray[i]);  
    }  
    return f[nLen - 1];  
}

上述代碼用了兩個輔助數組，其實只需要兩個變量，前i個數的情況只與前i-1個數的情況有關。在“子數組的最大和問題”中，也使用過類似的技術。

int MaxDiff_Solution2(int *pArray, int nLen)  
{
    if(pArray == NULL || nLen <= 1)  
        return 0;  
    int f = 0;  
    int m = pArray[0];  
    for(int i = 1; i < nLen; i++)  
    {  
        f = max(f, m - pArray[i]);  
        m = max(m, pArray[i]);  
    }  
    return f;  
}

8、從一列數中篩除盡可能少的數使得從左往右看，這些數是從小到大再從大到小的。

雙端 LIS 問題，用 DP 的思想可解，目標規划函數 max{ b[i] + c[i] - 1 }, 其中 b[i] 為從左到右，0--i 個數之間滿足遞增的數字個數；c[i] 為從右到左，n-1--i個數之間滿足遞增的數字個數。最后結果為 n-max 。

/* 
a[] holds the original numbers
b[i] holds the number of increasing numbers from a[0] to a[i]
c[i] holds the number of increasing numbers from a[n-1] to a[i]
*/
int double_lis(int a[], int n)
{
    int *b = new int[n];
    int *c = new int[n];

    // update array b from left to right
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        b[i] = 1;
        for(int j = 0; j < i; ++j)
            if(a[i] > a[j] && b[j]+1 > b[i])
                b[i] = b[j] + 1;
    }

    // update array c from right to left
    for (int i = n-1; i >= 0; --i)
    {
        c[i] = 1;
        for(int j = n-1; j > i; --j)
            if(a[i] > a[j] && c[j]+1 > c[i])
                c[i] = c[j] + 1;
    }

    int max = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i )
    {
        if (b[i]+c[i] > max)
            max = b[i] + c[i];
    }

    max = max-1; //delete the repeated one
    delete []b;
    delete []c;

    return n-max;
}

9、從給定的N個正數中選取若干個數之和最接近M

解法：轉換成01背包問題求解，從正整數中選取若干個數放在容量為M的背包中。

#include <stdio.h>

const int MAX = 10010;
int f[MAX];
int g[MAX][MAX];

int main()
{
    //從數組value中選中若干個數之和最接近V
    int value[] = {2,9,5,7,4,11,10};
    int V = 33;   //子集和
    int N = sizeof(value)/sizeof(value[0]);

    for(int i = 0; i <= V; ++i)  //初始化：沒要求和一定是V
    {
        f[i] = 0;
    }
    for(int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for(int v = V; v >= value[i]; --v)
        {
            if(f[v] < f[v-value[i]] + value[i] ) //選value[i]
            {
                f[v] = f[v-value[i]] + value[i];
                g[i][v] = 1;
            }
            else         //不選value[i]
            {
                f[v] = f[v]; 
                g[i][v] = 0;
            }
        }
    }
    printf("%d\n",f[V]);

    int i = N; //輸出解
    int v = V;
    while(i-- > 0)
    {
        if(g[i][v] == 1)
        {
            printf("%d, ",value[i]);
            v -= value[i];
        }
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

從給定的N個正數中選取若干個數之和為M

#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;

void find_seq(int sum, int index, int * value, list<int> & seq)
{
    if(sum <= 0 || index < 0) return;
    if(sum == value[index])
    {
        printf("%d ", value[index]);
        for(list<int>::iterator iter = seq.begin(); iter != seq.end(); ++iter)
        {
            printf("%d ", *iter);
        }
        printf("\n");
    }
    seq.push_back(value[index]); 
    find_seq(sum-value[index], index-1, value, seq); //放value[index]
    seq.pop_back();
    find_seq(sum, index-1, value, seq); //不放value[index]
}

int main()
{
    int M;
    list<int> seq;
    int value[] = {2,9,5,7,4,11,10};
    int N = sizeof(value)/sizeof(value[0]);
    for(int i = 0; i < N; ++i)
    {
        printf("%d ",value[i]);
    }
    printf("\n");
    scanf("%d", &M);
    printf("可能的序列：\n");
    find_seq(M, N-1, value, seq);

    return 0;
}

10、將一個較大的錢，不超過1000的人民幣，兌換成數量不限的100、50、10、5、2、1的組合，請問共有多少種組合呢？

解法：01背包中的完全背包問題（即每個物品的數量無限制）
dp[i][j]：表示大小為j的價值用最大為money[i]可表示的種類數

#define NUM 7
int money[NUM] = {1, 2, 5, 10, 20, 50, 100};  
// 動態規划解法(完全背包)   
int NumOfCoins(int value)  
{  
    int dp[7][1010];  
    for(int i = 0; i <= value; ++i)
        dp[0][i] = 1;  
  
    for(int i = 1; i < NUM; ++i)
    {
        for(int j = 0; j <= value; ++j)  
        {
            if(j >= money[i])  
                dp[i][j] = dp[i][j-money[i]] + dp[i-1][j];  
            else  
                dp[i][j] = dp[i-1][j];  
        }  
    }  
    return dp[6][value];
}

11、撈魚問題：20個桶，每個桶中有10條魚，用網從每個桶中抓魚，每次可以抓住的條數隨機，每個桶只能抓一次，問一共抓到180條的排列有多少種。

分析：看看這個問題的對偶問題，抓取了180條魚之后，20個桶中剩下了20條魚，不同的抓取的方法就對應着這些魚在20個桶中不同的分布，於是問題轉化為將20條魚分到20個桶中有多少中不同的分類方法（這個問題當然也等價於180條魚分到20個桶中有多少種不同的方法）。

dp[i][j]：前i個桶放j條魚的方法共分為11種情況：前i-1個桶放j-k（0<=k<=10）條魚的方法總和。我們可以得到狀態方程：f(i,j) = sum{ f(i-1,j-k), 0<=k<=10}

/*撈魚：將20條魚放在20個桶中，每個桶最多可以放10條，求得所有的排列方法
/*自底向上DP f(i,j) = sum{ f(i-1,j-k), 0<=k<=10 }
/*該方法中測試 20個桶 180條魚，與遞歸速度做對比
*/
void CatchFish()
{
    int dp[21][200]; // 前i個桶放j條魚的方法數
    int bucketN = 20;
    int fishN = 20;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 0; i <= 10; ++i)  // 初始化合法狀態
    {
        dp[1][i] = 1;
    }
    for(int i = 2; i <= bucketN; ++i)  // 從第二個桶開始
    {
        for(int j = 0; j <= fishN; ++j)
        {
            for(int k = 0; k <= 10 && j-k >= 0; ++k)
            {
                dp[i][j] += dp[i-1][j-k];
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dp[bucketN][fishN]);
}

12、n個骰子的點數：把n個骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的點數之和為S。輸入n，打印出S的所有可能的出現的值。

F(k,n) 表示k個骰子點數和為n的種數，k表示骰子個數，n表示k個骰子的點數和
對於 k>0, k<=n<=6*k
F(k,n) = F(k-1,n-6) + F(k-1,n-5) + F(k-1,n-4) + F(k-1,n-3) + F(k-1,n-2) + F(k-1,n-1) 
對於 n<k or n>6*k
F(k,n) = 0
當k=1時, F(1,1)=F(1,2)=F(1,3)=F(1,4)=F(1,5)=F(1,6)=1

void SumOfDices()
{
    int dp[21][6*20+1]; // k個骰子，和為n的種類數，不超過20個骰子
    int number = 3;  // 骰子數
    int face = 6;   // 面數，6面
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= 6; ++i)  // 初始化1個骰子的情況
    {
        dp[1][i] = 1;
    }
    for(int i = 2; i <= number; ++i)  // 從第二個骰子開始
    {
        for(int j = i; j <= face * i; ++j) // i個骰子的點數從i到i*6
        {
            for(int k = 1; k <= face && j-k >= 0; ++k)
            {
                dp[i][j] += dp[i-1][j-k];
            }
        }
    }
    for(int i = 0; i <= number * face; ++i)
    {
        printf("Sum = %d, Number is %d\n",i,dp[number][i]);
    }
}

13、給定三個字符串A，B，C；判斷C能否由AB中的字符組成，同時這個組合后的字符順序必須是A，B中原來的順序，不能逆序；例如：A：mnl，B：xyz；如果C為mnxylz，就符合題意；如果C為mxnzly，就不符合題意，原因是z與y順序不是B中順序。

DP求解：定義dp[i][j]表示A中前i個字符與B中前j個字符是否能組成C中的前(i+j)個字符，如果能標記true，如果不能標記false； 有了這個定義，我們就可以找出狀態轉移方程了，初始狀態dp[0][0] = 1：
dp[i][j] = 1 如果 dp[i-1][j] == 1 && C[i+j-1] == A[i-1]
dp[i][j] = 1 如果 dp[i][j-1] == 1 && C[i+j-1] == B[j-1]

#include <iostream>
using namespace std;

char A[201]; 
char B[201];
char C[401];    
int dp[201][201];   // dp[i][j] 表示A前i個字符與B前j個字符是否能構成C前i+j個字符

int main() 
{
    memset(dp,0,sizeof dp); 
    scanf("%s %s %s", A, B, C); 
    int lenA = strlen(A); 
    int lenB = strlen(B);
    dp[0][0] = 1;       
    for(int i = 0; i <= lenA; ++i) 
    {
        for(int j = 0; j <= lenB; ++j) 
        {
            if(i > 0 && (dp[i-1][j] == 1) && (C[i+j-1] == A[i-1])) 
            { 
                dp[i][j] = 1;
            }
            if(j > 0 && (dp[i][j-1] == 1) && (C[i+j-1] == B[j-1]))
            { 
                dp[i][j] = 1; 
            } 
        }
    }
    printf("%s\n",dp[lenA][lenB] ? "yes" : "no");
    return 0; 
}