動態規划法面試題（一）：矩形覆蓋

關於矩形覆蓋面試題

　　之前已經在上一篇分治法面試題（一）：矩形覆蓋一文中給出了該問題的遞歸解法。但是上面的分析可以看出效率不高，主要是存在大量重復元素的計算。那么如何避免大量重復元素的計算呢？這里將給出幾種解決方案。

關於動態規划

　　動態規划的思想與我們上篇探討的分治法相似，也是通過組合子問題的解從而得到整個問題的解。從上節給出的題目看得出來，分治分解出的子問題都是相對獨立的，但是動態規划分解的子問題通常不是獨立存在的。分治法有時候存在分解后的問題太多，因而重復計算也多的問題。那么如果能夠保存已求得的子問題的答案，從而在再次使用的時候調出，就會節省大量的時間。我們可以用一個表（數組）來存放求得的子問題的解，這就是動態規划的思想。

　　下面就給出集中解決方案，題目仍采用上篇所述的矩形覆蓋。

解決方案1

class Solution {
public:
    int a[1000];//采用動態數組更好，此處僅作演示
    int rectCover(int number) {
        if(a[number]!=0)
            return a[number];
        if(number<=0) return 0;
        if(number==1) a[number]=1;
        else if(number==2) a[number]=2;
        else
            {
            int p=rectCover(number-1);
            int q=rectCover(number-2);
            a[number]=p+q;
        }
        return a[number];
    }
};

　　該解法稱為動態規划的“備忘錄”法，即帶備忘的自頂向下法。感興趣的可以拿上篇分析的rectCover(5)來試試，rectCover(1),rectCover(2)都只需要計算一次。即如果該元素已經被計算過了，那就直接“取”。

解決方案2

class Solution {
//自底向上
public:
    int a[1000];
    int rectCover(int number) {
       a[1]=1;
        a[2]=2;
        for(int i=3;i<=number;i++)
            a[i]=a[i-1]+a[i-2];
        return a[number];;
    }
};

　　事實上，解法一是動態規划的變形形式，動態規划一般的都是自底向上求解，如解法2。

解決方案3

 

class Solution {
public:
    int rectCover(int number) {
      if(number<=0) return 0;
        if(number==1) return 1;
        if(number==2) return 2;
        int num1=1;
        int num2=2;
        int result=0;
        number=number-2;
        while(number--){
            result=num1+num2;
            num1=num2;
            num2=result;
        }
        return result;
    }
};

　　解決方案3的最大的優勢是不需要額外的數組來存放元素。