題目：一個整型數組里除了兩個數字之外，其他的數字都出現了兩次。請寫程序找出這兩個只出現一次的數字。要求時間復雜度是O(n)，空間復雜度是O(1)。
分析：首先考慮這個問題的一個簡單版本：一個數組里除了一個數字之外，其他的數字都出現了兩次。請寫程序找出這個只出現一次的數字。這個題目的突破口在哪里？題目為什么要強調有一個數字出現一次，其他的出現兩次？想到了異或運算的性質：任何一個數字異或它自己都等於0。也就是說，如果從頭到尾依次異或數組中的每一個數字，那么最終的結果剛好是那個只出現一次的數字，因為那些出現兩次的數字全部在異或中抵消掉了。
有了上面簡單問題的解決方案之后，回到原始的問題。如果能夠把原數組分為兩個子數組，在每個子數組中，包含一個只出現一次的數字，而其他數字都出現兩次。如果能夠這樣拆分原數組，按照前面的辦法就是分別求出這兩個只出現一次的數字了。
還是從頭到尾依次異或數組中的每一個數字，那么最終得到的結果就是兩個只出現一次的數字的異或結果。因為其他數字都出現了兩次，在異或中全部抵消掉了。由於這兩個數字肯定不一樣，那么這個異或結果肯定不為0，也就是說在這個結果數字的二進制表示中至少就有一位為1。在結果數字中找到第一個為1的位的位置，記為第N位。現在以第N位是不是1為標准把原數組中的數字分成兩個子數組，第一個子數組中每個數字的第N位都為1，而第二個子數組的每個數字的第N位都為0。
現在已經把原數組分成了兩個子數組，每個子數組都包含一個只出現一次的數字，而其他數字都出現了兩次。因此到此為止，所有的問題都已經解決。
#include <iostream> using namespace std; // Find the index of first bit which is 1 in num (assuming not 0) unsigned int FindFirstBitIs1(int num) { int indexBit = 0; while (((num & 1) == 0) && (indexBit < 32)) { num = num >> 1; ++ indexBit; } return indexBit; } // Is the indexBit bit of num 1? bool IsBit1(int num, unsigned int indexBit) { num = num >> indexBit; return (num & 1); } // Find two numbers which only appear once in an array // Input: data - an array contains two number appearing exactly once, void FindNumsAppearOnce(int data[], int length, int &num1, int &num2) { if (length < 2) return; // get num1 ^ num2 int resultExclusiveOR = 0; for (int i = 0; i < length; ++ i) resultExclusiveOR ^= data[i]; // get index of the first bit, which is 1 in resultExclusiveOR unsigned int indexOf1 = FindFirstBitIs1(resultExclusiveOR); num1 = num2 = 0; for (int j = 0; j < length; ++ j) { // divide the numbers in data into two groups, // the indexOf1 bit of numbers in the first group is 1, // while in the second group is 0 if(IsBit1(data[j], indexOf1)) num1 ^= data[j]; else num2 ^= data[j]; } } int main() { int a[8] = {2,3,6,8,3,2,7,7}; int x,y; FindNumsAppearOnce(a,8,x,y); cout<<x<<"\t"<<y<<endl; return 0; }
題目：一個整型數組里有三個數字出現了一次，其他的數字都出現了兩次。請寫程序找出這3個只出現一次的數字。
分析：思路類似於上題，關鍵是找出第一個來，然后借助上題結論求另外兩個。
假設x y z為只出現一次的數，其他出現偶數次。lowbit為某個數從右往左掃描第一次出現1的位置，則x^y、 x^z、 y^z 這三個值的lowbit有一個規律，其中肯定兩個是一樣的，另外一個是不一樣的。令flips為上述三個值的異或，即flips=lowbit(a^b)^lowbit(a^c)^lowbit(b^c)。因此，可以利用此條件獲得某個x(或者y，或者z)，循環判斷的條件是a[i]^xors的lowbit==flips（其中xors為所有數的異或值）
解釋：a[i]^xors即可划分為兩組，一組是lowbit與flips不同，一組是lowbit與flips相同。這樣就能找到某個x,y,z，找出后，將其與數組最后一個值交換，在利用上題思路，在前面n-1個數中找出剩余兩個。
#include <iostream> using namespace std; int lowbit(int x) { return x & ~(x - 1); } void Find2(int seq[], int n, int& a, int& b) { int i, xors = 0; for(i = 0; i < n; i++) xors ^= seq[i]; int diff = lowbit(xors); a = 0,b = 0; for(i = 0; i < n; i++) { if(diff & seq[i]) //與運算，表示數組中與異或結果位為1的位數相同 a ^= seq[i]; else b ^= seq[i]; } } //三個數兩兩的異或后lowbit有兩個相同，一個不同，可以分為兩組 void Find3(int seq[], int n, int& a, int& b, int& c) { int i, xors = 0; for(i = 0; i < n; i++) xors ^= seq[i]; int flips = 0; for(i = 0; i < n; i++) //因為出現偶數次的seq[i]和xors的異或，異或結果不改變 flips ^= lowbit(xors ^ seq[i]); //表示的是：flips = lowbit(a^b) ^ lowbit(a^c) ^ lowbit(b^c) //三個數兩兩異或后lowbit有兩個相同，一個不同，可以分為兩組 //所以flips的值為：lowbit(a^b) 或 lowbit(a^c) 或 lowbit(b^c) //得到三個數中的一個 a = 0; for(i = 0; i < n; i++) { if(lowbit(seq[i] ^ xors) == flips) //找出三個數兩兩異或后的lowbit與另外兩個lowbit不同的那個數 a ^= seq[i]; } //找出后，與數組中最后一個值交換，利用Find2，找出剩余的兩個 for(i = 0; i < n; i++) { if(a == seq[i]) { int temp = seq[i]; seq[i] = seq[n - 1]; seq[n - 1] = temp; } } //利用Find2，找出剩余的兩個 Find2(seq, n - 1, b, c); } //假設數組中只有2（010）、3（011）、5（101）三個數，2與3異或后為001，2與5異或后為111，3與5異或后為110， //則flips的值為lowbit(001)^lowbit(111)^lowbit(110)= 2 ，當異或結果xors與第一個數2異或的時候，得到的就是3與5異或的結果110，其lowbit值等於flips，所以最先找出來的是三個數中的第一個數：2 int main(void) { int seq[]={ 2,3,3,2,4,6,4,10,9,8,8 }; int a,b,c; Find3(seq, 11, a, b, c); cout<<a<<endl; cout<<b<<endl; cout<<c<<endl; return 0; }