二進制思想和多重背包問題

二進制思想

問題描述：

　　假設有1000個蘋果，現在要取n個蘋果，如何取？正常的做法應該是將蘋果一個一個拿出來，直到n個蘋果被取出來。

　　又假設有1000個蘋果和10只箱子，如何快速的取出n個蘋果呢？可以在每個箱子中放 2^i (i<=0<=n)個蘋果，也就是 1、2、4、8、16、32、64、128、256、489（最后的余數），相當於把十進制的數用二進制來表示，取任意n個蘋果時，只要推出幾只箱子就可以了。

多重背包問題

問題描述：

　　有N種物品和一個容量為V的背包。第 i 種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

問題分析：

 

　　很容易想到可以把該問題轉化成01背包問題來考慮，把每n[i] 中的每個物品都當成一個獨立的物品，而這 n[i] 個物品能夠表示的重量其實用 log n[i]個組合后的物品就能表示。

內層循環代碼如下：

int k, t;
k = 1;
t = n[i];
while(t > k)
{
    for(j=W; j>=c[i]*k; --j)
    {
        f[j] = max(f[j], f[j-c[i]*k] + w[i]*k);
    }
    t -= k;
    k *= 2;
}
for(j=W; j>=c[i]*t; --j)
{
    f[j] = max(f[j], f[j-c[i]*t] + w[i]*t);
}

poj上的1014是一道簡單的多重背包問題。http://poj.org/problem?id=1014

源碼如下：

#include <stdio.h>
#define max(x, y) ((x)>(y) ? (x) : (y)) 
int f[80001];
int main()
{
    int c[7];
    int i, j;
    int m = 0;
    int nHarf = 0;
    while(scanf("%d %d %d %d %d %d", &c[1], &c[2], &c[3], &c[4], &c[5], &c[6]) )
    {
        if(c[1]==0 && c[2]==0 && c[3]==0 && c[4]==0 && c[5]==0 && c[6]==0)
        {
            break;
        }
        printf("Collection #%d:\n", ++m);
        nHarf = c[1]*1 + c[2]*2 + c[3]*3 + c[4]*4 + c[5]*5 + c[6]*6;
        if(nHarf%2 == 1)
        {
            printf("Can't be divided.\n\n");
            continue;
        }
        else
        {
            nHarf /= 2;
        }
        for(i=1; i<7; ++i)
        {
            if(c[i] == 0) continue;
            if(c[i]*i > nHarf)
            {
                for(j=i; j<=nHarf; ++j)
                {
                    f[j] = max(f[j], f[j-i] + i);
                }
            }
            else
            {
                int k, t;
                k = 1;
                t = c[i];
                while(t > k)
                {
                    for(j=nHarf; j>=i*k; --j)
                    {
                        f[j] = max(f[j], f[j-i*k] + i*k);
                    }
                    t -= k;
                    k *= 2;
                }
                for(j=nHarf; j>=i*t; --j)
                {
                    f[j] = max(f[j], f[j-i*t] + i*t);
                }
            }
        }
        if(f[nHarf] == nHarf)
        {
            printf("Can be divided.\n\n");
        }
        else
        {
            printf("Can't be divided.\n\n");
        }
        for(i=0; i<=nHarf; ++i)
        {
            f[i] = 0;
        }
    }
    return 0;
}