回溯算法-01背包問題

1、問題描述

給定n種物品和一背包。物品i的重量是wi，其價值為vi，背包容量為c。問應如何選擇裝入背包中的物品，使得裝入背包中物品的總價值最大。在選擇裝入背包的物品時，對每種物品i只有兩種選擇，即裝入背包或不裝入背包。不能將物品i裝入背包多次，也不能只裝入部分的物品i。因此，該問題稱為0-1背包問題。

2、算法分析

0-1背包問題是子集選取問題。一般情況下，0-1背包問題是NP難的。0-1背包問題的解空間可用子集樹表示。在搜索解空間樹時，只要其左兒子結點是一個可行結點，搜索就進入左子樹。當右子樹中有可能包含最優解時才進入右子樹搜索。否則將右子樹剪去。

3、算法實現

public class BT_Knapsack01 {

int[] weight;
int[] value;
int max; // 背包的最大承重量

int n; //
int[] selection; // 背包選擇序列

int c_weight; // 當前背包重量
int c_value; // 當前背包價值

int bestv; // 最優的背包價值
int[] best_selection; // 最優背包選擇序列

public BT_Knapsack01() {
    weight = new int[] { 16, 15, 15 };
    value = new int[] { 45, 25, 25 };
    max = 30;

    n = weight.length;
    selection = new int[n];
    best_selection = new int[n];

    c_weight = 0;
    c_value = 0;
    bestv = 0;
}

private void backtrack(int t) {
    if (t >= n) {
        // 限界函數：剪去那些可行，但不可能是最優解的樹枝
        if (c_value > bestv) {
            bestv = c_value;
            // 保存最優的selection值：與動態優化的區別，因為selection會在不同的剪枝過程中發生變化
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                best_selection[i] = selection[i]; // 把最優的選擇序列保存在best_selection中
                // System.out.print(selection[i] + " ");
            }
        }
    }

    else {
        // 搜索左子樹
        if (c_weight + weight[t] <= max) {
            c_weight += weight[t];
            c_value += value[t];

            selection[t] = 1;
            backtrack(t + 1);

            // 背包當前價值和重量還原，遍歷右子樹
            c_weight -= weight[t];
            c_value -= value[t];
        }

        selection[t] = 0;
        backtrack(t + 1); // 搜索右子樹

    }
}

/**
 * @param args
 */
public static void main(String[] args) {
    // TODO Auto-generated method stub
    BT_Knapsack01 knap = new BT_Knapsack01();
    knap.backtrack(0);

   int len = knap.n;
   System.out.println("回溯法背包的最優值為：" + knap.bestv);
    System.out.println("回溯對應的value值分別為：");
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        if (knap.best_selection[i] == 1)
            System.out.print(knap.value[i] + " ");
    }
    System.out.println();
    System.out.println("回溯對應的weight值分別為：");
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        if (knap.best_selection[i] == 1)
            System.out.print(knap.weight[i] + " ");
    }
}

}

最后附一篇利用GA解決01背包問題的文章。