回溯算法-01背包问题

1、问题描述

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。因此，该问题称为0-1背包问题。

2、算法分析

0-1背包问题是子集选取问题。一般情况下，0-1背包问题是NP难的。0-1背包问题的解空间可用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能包含最优解时才进入右子树搜索。否则将右子树剪去。

3、算法实现

public class BT_Knapsack01 {

int[] weight;
int[] value;
int max; // 背包的最大承重量

int n; //
int[] selection; // 背包选择序列

int c_weight; // 当前背包重量
int c_value; // 当前背包价值

int bestv; // 最优的背包价值
int[] best_selection; // 最优背包选择序列

public BT_Knapsack01() {
    weight = new int[] { 16, 15, 15 };
    value = new int[] { 45, 25, 25 };
    max = 30;

    n = weight.length;
    selection = new int[n];
    best_selection = new int[n];

    c_weight = 0;
    c_value = 0;
    bestv = 0;
}

private void backtrack(int t) {
    if (t >= n) {
        // 限界函数：剪去那些可行，但不可能是最优解的树枝
        if (c_value > bestv) {
            bestv = c_value;
            // 保存最优的selection值：与动态优化的区别，因为selection会在不同的剪枝过程中发生变化
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                best_selection[i] = selection[i]; // 把最优的选择序列保存在best_selection中
                // System.out.print(selection[i] + " ");
            }
        }
    }

    else {
        // 搜索左子树
        if (c_weight + weight[t] <= max) {
            c_weight += weight[t];
            c_value += value[t];

            selection[t] = 1;
            backtrack(t + 1);

            // 背包当前价值和重量还原，遍历右子树
            c_weight -= weight[t];
            c_value -= value[t];
        }

        selection[t] = 0;
        backtrack(t + 1); // 搜索右子树

    }
}

/**
 * @param args
 */
public static void main(String[] args) {
    // TODO Auto-generated method stub
    BT_Knapsack01 knap = new BT_Knapsack01();
    knap.backtrack(0);

   int len = knap.n;
   System.out.println("回溯法背包的最优值为：" + knap.bestv);
    System.out.println("回溯对应的value值分别为：");
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        if (knap.best_selection[i] == 1)
            System.out.print(knap.value[i] + " ");
    }
    System.out.println();
    System.out.println("回溯对应的weight值分别为：");
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        if (knap.best_selection[i] == 1)
            System.out.print(knap.weight[i] + " ");
    }
}

}

最后附一篇利用GA解决01背包问题的文章。