繞任意軸旋轉的推導

萬丈高樓平地起；勿在浮沙築高台。

暫時放下其他的東西的學習，還不能稱之為學習。潛心研究pbrt，看到第二章繞任意軸的旋轉一部分，但是只是給了一個大體的推導，最終的推導並沒有給出，所以在此做一下簡單的推導。

給定一個規范化的方向向量a作為旋轉軸，然后使向量v繞着這個軸旋轉θ度，如圖1所示，首先我們計算一個平行於向量a的向量 ，此向量與向量a的起點相同，終點與向量v的終點（此時向量v與向量a起點相同）在以a為法線的平面上。假設向量v與a之間的夾角為 ，那么我們有

圖1，繞任意軸旋轉示意圖

我們首先在這個平面上構造一組向量基 v₁與 v₂，其中 v₁是v₁=v - v_c，

另外一個基向量可以通過兩個向量的叉乘得到：v2 = (v₁ x a),因為向量a是規范化的，所以v₁與v₂具有相同的長度，這個長度與v與v_c之間的向量長度相同。在旋轉平面（v₁與v₂所在的平面）來計算v繞向量v_c旋轉θ得到:

再繼續下面推導之前先復習一下向量點乘與叉乘的基本規律：

向量點乘符合以下規律：

向量叉乘符合以下規律：

現在可以開始推導上面的公式了，推導過程如下：（手機效果太爛。。。將就着看吧）

 

最后附上源碼：

Transform Rotate(float angle, const Vector &axis) {
    Vector a = Normalize(axis);
    float s = sinf(Radians(angle));
    float c = cosf(Radians(angle));
    float m[4][4];

    m[0][0] = a.x * a.x + (1.f - a.x * a.x) * c;
    m[0][1] = a.x * a.y * (1.f - c) - a.z * s;
    m[0][2] = a.x * a.z * (1.f - c) + a.y * s;
    m[0][3] = 0;

    m[1][0] = a.x * a.y * (1.f - c) + a.z * s;
    m[1][1] = a.y * a.y + (1.f - a.y * a.y) * c;
    m[1][2] = a.y * a.z * (1.f - c) - a.x * s;
    m[1][3] = 0;

    m[2][0] = a.x * a.z * (1.f - c) - a.y * s;
    m[2][1] = a.y * a.z * (1.f - c) + a.x * s;
    m[2][2] = a.z * a.z + (1.f - a.z * a.z) * c;
    m[2][3] = 0;

    m[3][0] = 0;
    m[3][1] = 0;
    m[3][2] = 0;
    m[3][3] = 1;

    Matrix4x4 mat(m);
    return Transform(mat, Transpose(mat));
}