\(\S\) 3.3 闭区间上连续函数的基本性质
定理3.3.1：有界性
设 \(f(x)\in C[a,b]\) 则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有界。也就是像下图说的那样
补充：无穷大于无界的关系
简单的说无穷大就是是当 \(x\) 趋于某一值时函数值必须单调地趋于无穷大，无界就是当 \(x\) 趋于某一值时函数值不单调地或者单调地趋于无穷大，至于发散就是不收敛。
证明1：
方法很多，这里的第一种方法使用 \(Bolzano-Weierstrass\) 定理和 \(Henie\) 定理
证1：（反证法）
假设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，但是无界. 则根据无界的定义\[\forall \, M>0, \exists\,x_0 \in [a,b], \textrm{使得}\; |f(x)|>M \]无界可以联想到无穷大，但必须取离散的点作为自变量才能保证无穷大。由无穷大可以找矛盾点：在这些离散点的定义下存在极限等于实数。可以考虑 \(Bolzano\) ，然后因为在函数下讨论序列问题，可以考虑用 \(Henie\) 。
则取 \(M\) 等于 \(1,2,\cdots,n\) ，有
\[1>0,\exists\,x_1\in[a,b], |f(x)|>1\\ 2>0,\exists\,x_2\in[a,b], |f(x)|>2\\ \vdots\\ n>0,\exists\,x_n\in[a,b], |f(x)|>n\\ \]从而有 \(\mathop{lim}\limits_{n \to \infty}f(x_n)=\infty\)
现在我们得到了一个数列 \(\{x_n\}\) ，它不一定收敛，但它有界，则有 \(Bolzano\) 定理可得它一定有收敛子列，不妨记作 \(\{x_{n_k}\}\) ，收敛于 \(x_0\)
加之 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续（闭区间，则极限一定能够等于当前点的函数值），结合 \(Henie\) 定理，\(\mathop{lim}\limits_{k\to \infty}x_{n_k}=x_0 \Longrightarrow\mathop{lim}\limits_{k\to\infty}f(x_{n_k})=f(x_0)\)
如果一个数列收敛于一个数或者无穷，那么它的子列也收敛到同一个数或无穷。此处就产生了矛盾。
证毕
证明2
闭区间套
证2：（反证法）
假设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，但是无界，则对于区间 \([a,\frac{a+b}{2}]\) 和 \([\frac{a+b}{2},b]\) ，\(f(x)\) 一定在其中的某个区间内无界。令这个子区间为 \([a_1,b_1]\) 则对于 \([a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]\) 和 \([\frac{a_1+b_1}{2},b_1]\) ，\(f(x)\) 一定在其中的某个区间内无界。
如此下去，则可以得到一个闭区间列 \(\{[a_n,b_n]\}\) 满足：
\(1. a_{n-1}\le a_n<b_n\le b_{n-1}\)\(2. \mathop{lim}\limits_{n\to\infty}b_n-a_n=0\)
\(3. f(x)\) 在每个区间上无界
则由闭区间套定理，\(\exists!\,c\in[a_n,b_n],\forall n\in\mathbb{N}\) .
由条件 \(2\) 知 \(\exists n>0\) 使得 \([a_n,b_n] \subset U(c,\delta)\) 即 \(f(x)\) 无界。由连续函数的局部有界性，\(\exists\, \delta>0\) ，使得当 \(\forall x\in U(c,\delta)\) 时，\(f(x)\) 有界。
这与条件 \(3\) 矛盾
证毕
定理3.3.2：最值定理
设 \(f(x) \in C[a,b]\) ，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上必有最小值和最大值。
很好理解，同上图。
证明：
由连续函数的有界性定理，\(f(x)\) 一定有界。
记 \(M=\mathop{sup}\limits_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\) ， \(m=\mathop{inf}\limits_{x\in[a,b]} \{ f(x) \}\)
由上确界的定义，可得上确界是 \(f(x)\) 的一个聚点。则存在数列 \(\{ x_n \}\) 使得 \(\mathop{lim}\limits_{n\to\infty} f(x_n) = M\) 。
下面证明存在一个数 \(\xi\) 使得 \(f(\xi) = M\) :设 \(\{ x_{n_k} \}\) 是 \(\{ x_n \}\) 的子列，因为 \(\{ x_{n_k} \}\) 有界，则 \(\{ x_{n_k} \}\) 必收敛，设收敛于 \(x_0\) 。
由 \(Henie\) 定理： \(\mathop{lim}\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = M\)
因为 \(f(x)\) 连续，所以有 \(\mathop{lim}\limits_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = f(x_0)\)
故有 \(f(x_0) = M\) 即可以取到最大值。
同理可证最小值
证毕。
定理3.3.3：介值定理
设 \(f(x) \in C[a,b]\) ，设 \(m=\mathop{min}\limits_{x \in [a,b]} \{ f(x) \}\) ，\(M=\mathop{max}\limits_{x\in [a,b]}\{f(x)\}\) ，则对，\(\forall \,\eta \in [m,M]\) ，\(\exists \,\xi \in [a,b]\) 使得 \(f(\xi)=\eta\) ，也即 \(f([a,b]) = [m,M]\)
人话：若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续，则在最大最小值之间的任何一个数都至少对应一个 \(x\)
证明：
证： \(m = M\) 时，显然成立。
\(m \ne M\) 时，\(\exists \, x_1,x_2 \in [a,b], \, f(x_1) = m, \, f(x_2) = M\) 。显然当 \(\eta = m\) 或 \(M\) 时成立。
假设 \(x_1 < x_2\)，当 \(\eta \in (m,M)\) 时，定义：\(E = \{ x \in [x_1,x_2]: f(x) > \eta \}\)
显然 \(x_1 \notin E\) ，故 \(x_1\) 是 \(E\) 的下界
显然 \(x_2 \in E\) ，故 \(E\) 非空
因此 \(E\) 一定存在下界。
记 \(\xi = inf\,E\) ，则有 \(x_1 \le \xi <x_2\)
由连续函数的局部保号性知：\(\exists \, \delta > 0, \forall \, x \in (x_1,x_1 + \delta) ,f(x) <= \eta\)
设 \(x_* \in (x_1,x_1 + \delta)\) 因为 \(\xi\) 是下界，故有 \(\xi \ge x_* > x_1\) 因此 \(\xi\) 严格大于 \(x_1\)下证 \(f(\xi) = \eta\) :
由 \(E\) 的定义，\(f(\xi) \ge \eta\) 。
若 \(f(\xi) > \eta\) 则由 \(f(x)\) 在 \(\xi\) 处连续可得：\(\exists \, \delta > 0, \forall \, x \in (\xi - \delta,\xi + \delta) \cap [a,b],f(x) > \eta\)
但因为 \(\xi\) 为下界，故对于 \(x \in (\xi - \delta,\xi),f(x) \le \eta\) ，矛盾
证毕