来自洛谷P1962（一道看似很水的题）
斐波那契数列的通项公式是 Fn=Fn-1 + Fn-2
在一定的复杂度内可以直接递推，但是如果n太大，那么就容易T，这时候，我们就运用矩阵加速来进行优化，以减少运行时间。
在看矩阵加速之前，我们首先需要了解矩阵快速幂
【模板】 洛谷P3390
首先，我们来讲一下矩阵与矩阵之间的运算。
1.矩阵加法：
假定有两个矩阵A，B；
一般而言，让我们进行矩阵加法的两个矩阵会是一对同型矩阵（行列数分别相等）
那么，得到的矩阵AB的第 i 行，第 j 列的元素，即为A和B中第 i 行，第 j 列的元素的加和
举个栗子：
那么减法运算就相当于加上一个负数，与之一样。
在加（减）法中，满足：
A+B=B+A【交换律】
A+（B+C）=（A+B）+C 【结合律】
2.矩阵数乘
假定我们有一个矩阵A，还有一个常数 λ，那么 λ*A 就是把A中的每一个元素都乘以 λ
再举个例子：
在矩阵的数乘中，满足如下运算规律：
设 x，y为常数
则：x（yA）= y（xA）【交换律】
（x+y）*A = xA + yA 【分配律】
（A+B）*x = xA + xB 【分配律】
3.矩阵乘法（矩阵乘矩阵）
假定我们有两个矩阵A，B。A为n*m的矩阵，B为m*k的矩阵，只有满足A的行数数等于B的列数时，才能够进行矩阵与矩阵之间的乘法运算。运算后，得到的矩阵C将会是一个n*k大小的矩阵
那么得到C矩阵的运算公式为：
又双叒叕举个例子：
就是说，矩阵AB的第 i 行第 j 列元素都是由A的第 i 行的各个元素与B的第 j 列的各个元素相乘之和
需要注意的是，在矩阵与矩阵的乘法中，有如下运算法则
1.（AB）C=A（BC）【结合律】
2.（A+B）C=AC+BC 【分配律】
这里并没有交换律，因为将A和B的顺序颠倒后，不一定符合矩阵之间的运算定义（比如A：2*3 ； B：3*5），如果满足也不一定能够得到相同的结果。
我们在这道模板题中，因为A只是在做幂运算，并不用加入其他的递推式，我们就可以设定一个单位矩阵 L（单位矩阵的元素非0即1），使得矩阵L的第 i 行，第 i 列的元素为1，其余为0。之后可以依照快速幂的写法完成矩阵快速幂（这里用的重载运算符）
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<math.h> #include<algorithm>
using namespace std; const long long mod=1000000007; struct STU //声明结构体 { long long m[110][110]; } A,I; long long n,k; STU operator * (const STU &a,const STU &b)//重载运算符 '*' { STU x; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { x.m[i][j]=0; } } for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { for(int p=1;p<=n;p++) { x.m[i][j]+=a.m[i][p]*b.m[p][j]%mod; //矩阵乘法运算 x.m[i][j]%=mod;//别忘记取mod } } } return x; } int main(void) { cin>>n>>k; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { cin>>A.m[i][j];//输入运算矩阵 } I.m[i][i]=1;//定义单位矩阵 } while(k>0)//快速幂运算（可以用while循环，也可以用递归） { if(k%2==1) I=I*A; A=A*A; k=k>>1; } for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { cout<<I.m[i][j]<<" ";//输出每一个元素 } cout<<endl; } return 0; }
既然我们解决了矩阵快速幂的问题，那么再来看一下矩阵加速——【模板】洛谷 P1939（和斐波那契数列的做法差不多）。
对于这道题来说，直接递归毫无疑问是要T的，那么矩阵加速就是我们的首选算法，那么，问题来了，怎么设置我们的初始矩阵呢？
在这道题中，我们需要用第n-1个数和第n-3个数来推得第n个数
那么设现有数Fn，Fn-1，Fn-2，Fn-3
那么：Fn=Fn-1*1+Fn-2*0+Fn-3*1 ；Fn-1=Fn-1*1+Fn-2*0+Fn-3*0 ； Fn-2=Fn-1*0+Fn-2*1+Fn-3*0
则矩阵为：
那么这就是我们的初始矩阵。
值得注意的是，在这个矩阵中，第N次运算得到的结果为第N+1项，那么我们就需要输出第二行，第一列的元素即可。
上代码：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<math.h> #include<cstring>
using namespace std; const long long mod=1000000007; struct STU //结构体 { long long m[110][110]; } A,I; int T,n; STU operator * (const STU &a,const STU &b)//重载运算符 { STU x; for(int i=1;i<=3;i++) { for(int j=1;j<=3;j++) { x.m[i][j]=0; } } for(int i=1;i<=3;i++) { for(int j=1;j<=3;j++) { for(int p=1;p<=3;p++) { x.m[i][j]+=a.m[i][p]*b.m[p][j]%mod; x.m[i][j]%=mod; } } } return x; } void clear() { memset(I.m,0,sizeof(I.m));//清空I矩阵 memset(A.m,0,sizeof(A.m));//清空A矩阵 for(int i=1;i<=3;i++) I.m[i][i]=1;//还原为初始状态 A.m[1][1]=A.m[1][3]=A.m[2][1]=A.m[3][2]=1; } int ksm(int k)//快速幂 { while(k>0) { if(k%2!=0) I=I*A; A=A*A; k=k>>1; } return I.m[2][1]; } int ys(int k)//判断 { if(k<=3) return 1; else return ksm(k); } int main(void) { cin>>T; for(int i=1;i<=T;i++) { cin>>n; clear();//每一次运算后都需要清空 cout<<ys(n)<<endl; } return 0; }
正题终于要来了！
看过了上面的矩阵加速例题，这道题也就变得迎刃而解。
首先，我们先定义初始矩阵，因为它只有前两项为1，那么就可以用一个1*2的矩阵L来代表，即为L【1，1】
之后，我们要定义单位矩阵，由于Fn=Fn-1+Fn-2，那么单位矩阵的第一列就应该定为：【1，1】，使得Fn-1和Fn-2能够相加
之后，为了保留下Fn-1，但Fn-2已经没有用处了，那么第二列就是【1，0】。
这样，我们的单位矩阵就是：
原式也可以化为：
到这里，我们的矩阵就构造完成了，输出时只要输出第1行第1列的元素就行了，但是，还有一个地方，那就是当我们输入N，且N大于等于3时，我们的矩阵只需要进行N-2运算，因为在本题中第1项和第二项在初始化时已经给出，进行运算时可以直接从求第三项开始。
源代码如下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<math.h>
using namespace std; const long long mod=1000000007; struct STU//结构体 { long long m[110][110]; } A,I; long long n; STU operator * (const STU &a,const STU &b)//重载运算符 { STU x; memset(x.m,0,sizeof(x.m)); for(int i=1;i<=2;i++) { for(int j=1;j<=2;j++) { for(int k=1;k<=2;k++) { x.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod; x.m[i][j]%=mod; } } } return x; } void init()//初始化 { memset(I.m,0,sizeof(I.m)); memset(A.m,0,sizeof(A.m)); I.m[1][1]=I.m[1][2]=1; A.m[1][1]=A.m[1][2]=A.m[2][1]=1; } int main(void) { cin>>n; init(); if(n<=2)//第一项或第二项的情况 { cout<<1<<endl; return 0; } else //n>=3的情况 { n=n-2; while(n>0) //快速幂 { if(n%2!=0) I=I*A; A=A*A; n=n>>1; } cout<<I.m[1][1]<<endl;//输出 return 0; } }
这样，斐波那契数列的矩阵加速解法就写完啦！
QAQ