來自洛谷P1962（一道看似很水的題）
斐波那契數列的通項公式是 Fn=Fn-1 + Fn-2
在一定的復雜度內可以直接遞推，但是如果n太大，那么就容易T，這時候，我們就運用矩陣加速來進行優化，以減少運行時間。
在看矩陣加速之前，我們首先需要了解矩陣快速冪
【模板】 洛谷P3390
首先，我們來講一下矩陣與矩陣之間的運算。
1.矩陣加法：
假定有兩個矩陣A，B；
一般而言，讓我們進行矩陣加法的兩個矩陣會是一對同型矩陣（行列數分別相等）
那么，得到的矩陣AB的第 i 行，第 j 列的元素，即為A和B中第 i 行，第 j 列的元素的加和
舉個栗子：
那么減法運算就相當於加上一個負數，與之一樣。
在加（減）法中，滿足：
A+B=B+A【交換律】
A+（B+C）=（A+B）+C 【結合律】
2.矩陣數乘
假定我們有一個矩陣A，還有一個常數 λ，那么 λ*A 就是把A中的每一個元素都乘以 λ
再舉個例子：
在矩陣的數乘中，滿足如下運算規律：
設 x，y為常數
則：x（yA）= y（xA）【交換律】
（x+y）*A = xA + yA 【分配律】
（A+B）*x = xA + xB 【分配律】
3.矩陣乘法（矩陣乘矩陣）
假定我們有兩個矩陣A，B。A為n*m的矩陣，B為m*k的矩陣，只有滿足A的行數數等於B的列數時，才能夠進行矩陣與矩陣之間的乘法運算。運算后，得到的矩陣C將會是一個n*k大小的矩陣
那么得到C矩陣的運算公式為：
又雙叒叕舉個例子：
就是說，矩陣AB的第 i 行第 j 列元素都是由A的第 i 行的各個元素與B的第 j 列的各個元素相乘之和
需要注意的是，在矩陣與矩陣的乘法中，有如下運算法則
1.（AB）C=A（BC）【結合律】
2.（A+B）C=AC+BC 【分配律】
這里並沒有交換律，因為將A和B的順序顛倒后，不一定符合矩陣之間的運算定義（比如A：2*3 ； B：3*5），如果滿足也不一定能夠得到相同的結果。
我們在這道模板題中，因為A只是在做冪運算，並不用加入其他的遞推式，我們就可以設定一個單位矩陣 L（單位矩陣的元素非0即1），使得矩陣L的第 i 行，第 i 列的元素為1，其余為0。之后可以依照快速冪的寫法完成矩陣快速冪（這里用的重載運算符）
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<math.h> #include<algorithm>
using namespace std; const long long mod=1000000007; struct STU //聲明結構體 { long long m[110][110]; } A,I; long long n,k; STU operator * (const STU &a,const STU &b)//重載運算符 '*' { STU x; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { x.m[i][j]=0; } } for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { for(int p=1;p<=n;p++) { x.m[i][j]+=a.m[i][p]*b.m[p][j]%mod; //矩陣乘法運算 x.m[i][j]%=mod;//別忘記取mod } } } return x; } int main(void) { cin>>n>>k; for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { cin>>A.m[i][j];//輸入運算矩陣 } I.m[i][i]=1;//定義單位矩陣 } while(k>0)//快速冪運算（可以用while循環，也可以用遞歸） { if(k%2==1) I=I*A; A=A*A; k=k>>1; } for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=n;j++) { cout<<I.m[i][j]<<" ";//輸出每一個元素 } cout<<endl; } return 0; }
既然我們解決了矩陣快速冪的問題，那么再來看一下矩陣加速——【模板】洛谷 P1939（和斐波那契數列的做法差不多）。
對於這道題來說，直接遞歸毫無疑問是要T的，那么矩陣加速就是我們的首選算法，那么，問題來了，怎么設置我們的初始矩陣呢？
在這道題中，我們需要用第n-1個數和第n-3個數來推得第n個數
那么設現有數Fn，Fn-1，Fn-2，Fn-3
那么：Fn=Fn-1*1+Fn-2*0+Fn-3*1 ；Fn-1=Fn-1*1+Fn-2*0+Fn-3*0 ； Fn-2=Fn-1*0+Fn-2*1+Fn-3*0
則矩陣為：
那么這就是我們的初始矩陣。
值得注意的是，在這個矩陣中，第N次運算得到的結果為第N+1項，那么我們就需要輸出第二行，第一列的元素即可。
上代碼：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<math.h> #include<cstring>
using namespace std; const long long mod=1000000007; struct STU //結構體 { long long m[110][110]; } A,I; int T,n; STU operator * (const STU &a,const STU &b)//重載運算符 { STU x; for(int i=1;i<=3;i++) { for(int j=1;j<=3;j++) { x.m[i][j]=0; } } for(int i=1;i<=3;i++) { for(int j=1;j<=3;j++) { for(int p=1;p<=3;p++) { x.m[i][j]+=a.m[i][p]*b.m[p][j]%mod; x.m[i][j]%=mod; } } } return x; } void clear() { memset(I.m,0,sizeof(I.m));//清空I矩陣 memset(A.m,0,sizeof(A.m));//清空A矩陣 for(int i=1;i<=3;i++) I.m[i][i]=1;//還原為初始狀態 A.m[1][1]=A.m[1][3]=A.m[2][1]=A.m[3][2]=1; } int ksm(int k)//快速冪 { while(k>0) { if(k%2!=0) I=I*A; A=A*A; k=k>>1; } return I.m[2][1]; } int ys(int k)//判斷 { if(k<=3) return 1; else return ksm(k); } int main(void) { cin>>T; for(int i=1;i<=T;i++) { cin>>n; clear();//每一次運算后都需要清空 cout<<ys(n)<<endl; } return 0; }
正題終於要來了！
看過了上面的矩陣加速例題，這道題也就變得迎刃而解。
首先，我們先定義初始矩陣，因為它只有前兩項為1，那么就可以用一個1*2的矩陣L來代表，即為L【1，1】
之后，我們要定義單位矩陣，由於Fn=Fn-1+Fn-2，那么單位矩陣的第一列就應該定為：【1，1】，使得Fn-1和Fn-2能夠相加
之后，為了保留下Fn-1，但Fn-2已經沒有用處了，那么第二列就是【1，0】。
這樣，我們的單位矩陣就是：
原式也可以化為：
到這里，我們的矩陣就構造完成了，輸出時只要輸出第1行第1列的元素就行了，但是，還有一個地方，那就是當我們輸入N，且N大於等於3時，我們的矩陣只需要進行N-2運算，因為在本題中第1項和第二項在初始化時已經給出，進行運算時可以直接從求第三項開始。
源代碼如下：
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<math.h>
using namespace std; const long long mod=1000000007; struct STU//結構體 { long long m[110][110]; } A,I; long long n; STU operator * (const STU &a,const STU &b)//重載運算符 { STU x; memset(x.m,0,sizeof(x.m)); for(int i=1;i<=2;i++) { for(int j=1;j<=2;j++) { for(int k=1;k<=2;k++) { x.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod; x.m[i][j]%=mod; } } } return x; } void init()//初始化 { memset(I.m,0,sizeof(I.m)); memset(A.m,0,sizeof(A.m)); I.m[1][1]=I.m[1][2]=1; A.m[1][1]=A.m[1][2]=A.m[2][1]=1; } int main(void) { cin>>n; init(); if(n<=2)//第一項或第二項的情況 { cout<<1<<endl; return 0; } else //n>=3的情況 { n=n-2; while(n>0) //快速冪 { if(n%2!=0) I=I*A; A=A*A; n=n>>1; } cout<<I.m[1][1]<<endl;//輸出 return 0; } }
這樣，斐波那契數列的矩陣加速解法就寫完啦！
QAQ