汉语名：等比数列求和公式
英语名：the formula of summation for geometric sequence
相关概念：等比数列 乘方
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内容
\[\sum_{i=0}^{n-1}a^i=\frac{a^n-1}{n-1} \]
证明
证明
\[原式=\frac{(n-1)原式}{n-1}\\ ---------\\ =\frac{n\times原式-原式}{n-1}\\ =\frac{(n\sum_{i=0}^{n-1}a^i)-\sum_{i=0}^{n-1}a^i}{n-1}\\ =\frac{(\sum_{i=1}^na^i)-\sum_{i=0}^{n-1}a^i}{n-1}\\ =\frac{a^n-1}{n-1}\\ \]
证毕
应用
- 求一棵满\(k\)叉树的节点数。
- 编码\(\log(n)\)求等比数列之和。