的資料《線性代數入門》 1、環與多項式 一、准備:多項式 代數學中,多項式是一個重要而 ...
多項式除法 一 多項式整除 多項式之間存在乘法,我們自然想要去考慮乘法的逆運算是怎樣的。首先來介紹整除: 定義:對於 K x 上的多項式 f g ,若有存在多項式 h ,使得 f hg 我們就稱 g 整除 f ,記為 g f 。這時也稱 g 是 f 的因式 f 則是倍式 。注意並沒有要求 h neq f 或者 h neq g 。 整除有以下簡單的性質: f 當且僅當 f 任意 f 都滿足 f 任 ...
2021-01-26 12:21 0 438 推薦指數:
的資料《線性代數入門》 1、環與多項式 一、准備:多項式 代數學中,多項式是一個重要而 ...
1. 多項式環 1.1 基本定義和性質 多項式是數學中的重要概念,在分析和代數中都有廣泛的應用,線性變換也非常依賴多項式的理論。雖然在不同場景下多項式描述的對象有較大差異,但它們卻有着類似的代數結構,這里就從純代數的角度討論多項式的結構和性質。以下我會花較多口舌定義什么是多項式,這種看似 ...
問題 給出\(n\)次多項式\(A(x)\),\(m\)次多項式\(B(x)\),求多項式\(D(x)\),\(R(x)\)使得$$A(x)=B(x)D(x)+R(x)$$,滿足\(deg\le n-m,deg\ R<m\)。 即求多項式\(A(x)\)對\(B(x)\)的帶余除法 ...
多項式求逆是多項式除法的基礎,如果你不會多項式求逆,請看這里 問題:已知兩個多項式$F(x)$(次數為n),$G(x)$(次數為m),求兩個多項式$Q(x)$與$R(x)$,滿足$F(x)=G(x)Q(x)+R(x)$,所有運算在模998244353意義下進行 推一發式子: $F(x)=G ...
韋達定理的推廣形式: 特征多項式|λI-A|一定是關於λ的n次多項式,λ^n的系數一定是1,由韋達定理和跡函數的性質:tr(A)=tr(P^-1*diag*P)=tr(diag*P^-1*P)=tr(diag)=所有特征值(包括重復的)之和 則有λ^(n-1)的系數一定 ...
一類問題:給定一個 \(n\) 次多項式 \(F(x)\) 和一個 \(m\) 次多項式 \(G(x)\),請求出多項式 \(Q(x)\),\(R(x)\),滿足以下條件: \(Q(x)\) 次數為 \(n−m\),\(R(x)\) 次數小於 \(m\) \(F(x)=Q(x)∗G(x ...
3、最大公因式 一、最大公因式的概念 上一篇我們介紹了多項式之間的除法:整除和帶余除法。這之后我們就可以探討一個重要的問題,就是多項式的因式分解問題。在此之前,先來介紹公因式的概念。 定義:$K[x]$上的多項式$f$和$g$的公共因式稱為它們的公因式,即若$p$是$f$、$g$的公因式 ...
1. 因子分解 1.1 唯一分解環 環的直和分解將大環分解為小環,使得結構更加簡單。從整數的算術基本定理得到啟發,我們還可以從乘法分解的角度來研究環。要使這個定向研究得到有用的結論,還需對環作 ...