多項式問題之二——多項式除法

多項式求逆是多項式除法的基礎，如果你不會多項式求逆，請看這里

問題：已知兩個多項式$F(x)$（次數為n）,$G(x)$（次數為m），求兩個多項式$Q(x)$與$R(x)$，滿足$F(x)=G(x)Q(x)+R(x)$，所有運算在模998244353意義下進行

推一發式子：

$F(x)=G(x)Q(x)+R(x)$

用$\frac{1}{x}$替代$x$，得到：

$F(\frac{1}{x})=G(\frac{1}{x})Q(\frac{1}{x})+R(\frac{1}{x})$

兩邊乘一個$x^{n}$，得：

$x^{n}F(\frac{1}{x})=x^{m}G(\frac{1}{x})x^{n-m}Q(\frac{1}{x})+x^{n}R(\frac{1}{x})$

對表達式$F(x)=G(x)Q(x)+R(x)$進行分析，可以看到，若$F(x)$次數為n，$G(x)$次數為m，則$Q(x)$次數為$n-m$，$R(x)$次數不超過m-1

那么對自變量先取逆再乘一個最高次數等價於構造一個系數與原多項式恰好相反的多項式！

也即若$F(x)=\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$，則$x^{n}F(\frac{1}{x})=\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}x^{i}$

我們記$x^{n}F(\frac{1}{x})=\sum_{i=0}^{n}a_{n-i}x^{i}=F^{T}(x)$

那么上式可以簡寫成$F^{T}(x)=G^{T}(x)Q^{T}(x)+R^{T}(x)$

可以發現，$R^{T}(x)$這個多項式前$(n-m+1)$項的系數均為0！

因此如果我們在$mod$ $x^{n-m+1}$意義下，可以立刻得出這個等式：

$F^{T}(x)\equiv G^{T}(x)Q^{T}(x)$($mod$ $x^{n-m+1}$)

那么移項即得：

$Q^{T}(x)\equiv \frac{F^{T}(x)}{G^{T}(x)}$($mod$ $x^{n-m+1}$)

這樣就求出了$Q(x)$，然后基於原表達式，可得：

$R(x)=F(x)-G(x)Q(x)$

$R(x)$就算出來了

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mode=998244353;
int to[(1<<20)+5];
int n,m;
ll FF[100005],GG[100005],F[100005],G[100005],Q[100005],GF[100005];
struct node
{
    ll g[100005];
    int len;
}las,now;
ll pow_mul(ll x,ll y)
{
    ll ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%mode;
        x=x*x%mode,y>>=1;
    }
    return ret;
}
void NTT(ll *a,int len,int k)
{
    for(int i=0;i<len;i++)if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        ll w0=pow_mul(3,(mode-1)/(i<<1));
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            ll w=1;
            for(int o=0;o<i;o++,w=w*w0%mode)
            {
                ll w1=a[j+o],w2=a[j+o+i]*w%mode;
                a[j+o]=(w1+w2)%mode,a[j+o+i]=((w1-w2)%mode+mode)%mode;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        ll inv=pow_mul(len,mode-2);
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;i++)a[i]=a[i]*inv%mode;
    }
}
ll a[(1<<20)+5],b[(1<<20)+5],c[(1<<20)+5];
void solve(int dep)
{
    if(dep==1)
    {
        now.g[0]=pow_mul(G[0],mode-2);
        now.len=1;
        las=now;
        return;
    }
    int nxt=(dep+1)/2;
    solve(nxt);
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*dep)lim<<=1,l++;
    for(int i=0;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=b[i]=0;
    for(int i=0;i<dep;i++)a[i]=G[i];
    for(int i=0;i<nxt;i++)b[i]=las.g[i];
    NTT(a,lim,1),NTT(b,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=a[i]*b[i]%mode*b[i]%mode;
    NTT(c,lim,-1);
    now.len=dep;
    for(int i=0;i<dep;i++)now.g[i]=((2*las.g[i]-c[i])%mode+mode)%mode;
    las=now;
}
void mul(ll *A,ll *B,int len)
{
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=2*len)lim<<=1,l++;
    for(int i=1;i<lim;i++)to[i]=((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=b[i]=0;
    for(int i=0;i<len;i++)a[i]=A[i],b[i]=B[i];
    NTT(a,lim,1),NTT(b,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=a[i]*b[i]%mode;
    NTT(c,lim,-1);
    
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<=n;i++)scanf("%lld",&FF[i]),F[n-i]=FF[i];
    for(int i=0;i<=m;i++)scanf("%lld",&GG[i]),G[m-i]=GG[i];
    for(int i=n-m+2;i<=m;i++)G[i]=0;
    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)F[i]=0;
    solve(n-m+1);
    for(int i=0;i<=n-m;i++)GF[i]=now.g[i];
    mul(F,GF,n-m+1);
    for(int i=0;i<=n-m;i++)Q[i]=c[i];    
    for(int i=0;i<=n-m;i++)Q[i]=c[n-m-i];
    for(int i=0;i<=n-m;i++)printf("%lld ",Q[i]);
    printf("\n");
    mul(Q,GG,max(m+1,n-m+1));
    for(int i=0;i<m;i++)printf("%lld ",((FF[i]-c[i])%mode+mode)%mode);
    printf("\n");
    return 0;
}