微積分小感——1.導數與微分 所需的前置知識： 1）函數的概念 2）實數理論 3）極限理論（第0章） §1.導數 —1.速度、切線與導數的定義 ​ 想當年，牛老爵爺[1]發明“導數”（他稱之為“流數”）的概念，便是為了解決如下的問題： 已知函數 \(y=f(x)\) 描述 ...

　　在一元函數中，我們已經知道導數就是函數的變化率。對於二元函數我們同樣要研究它的“變化率”。 　　在xOy平面內，當動點由P(x0,y0)沿不同方向變化時，函數f(x,y)的變化快慢一般說來是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。 　　在這里我們只學習函數 ...

和、差、積、商求導法則 　　設u=u(x),v=v(x)都可導，則： (Cu)’ = Cu’, C是常數 (u ± v)’ = u’ ± v’ (uv)’ = u’v + uv’ ...

什么是反函數 　　一般地，設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函數g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函數x= g(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數，記作y= ...

什么是導數 　　導數是高數中的重要概念，被應用於多種學科。 　　從物理意義上講，導數就是求解變化率的問題；從幾何意義上講，導數就是求函數在某一點上的切線的斜率。 　　我們熟知的速度公式：v = s/t，這求解的是平均速度，實際上往往需要知道瞬時速度： 　　當t趨近於t0，即t-t0 ...

冪函數的擴展形式 　　f(x) = xn的導數：f’(x) = nxn-1，n是整數，該公式對f(x) = xm/n, m,n 是整數同樣適用。 　　推導過程： 　　兩端同時求導，由於y是x的函數，根據鏈式求導法則： 什么是隱函數 　　引自知乎： 　　“如果方程F(x,y ...

　　梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿着給定方向的傾斜程度。 　　梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函數在該點處的方向導數沿着該方向取得最大值，即函數在該點處沿着該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。 　　在單變量的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性 ...

多元復合函數二階導數與向量微積分的思考 引入 對於形似\(z=f(u_1,u_2,...,u_n),\)其中\(u_i=g_i(x_i)\)的多元復合函數，對其二階導數的考察常常會經過繁瑣而重復的運算，且容易在連續運用鏈式法則時犯錯。本文將提出該類題型的通解以及理論推導過程供參考。 例1：設 ...