考慮一個問題 $$1 \leq n \leq 1e7,求\sum_{1 \leq i< j \leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}(mod\quad1e9+7)$$ 結論——拉格朗日恆等式 \[(\sum_{i=1}^{n}a_{i ...

拉馬努金連分數參考：這里 Here is a famous problem posed by Ramanujan > Show that $$\left(1 + \frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \cdots\right ...

作者：梁志凡 2013-02-01 13:11:02來源：南方周末 標簽 拉馬努金 印度之子 數學天才 這位泰戈爾的同胞來自印度南端的泰米爾納德邦，從未接受過正規數學訓練的他具有驚人的數學直覺，獨立 ...

組合數恆等式 本蒟蒻太弱了。。為了不誤導。。這個博客僅供個人使用。。 排列數：在n個元素中選m個元素作為排列，排列數顯然是\(n^{\underline m}=\frac{n!}{(n-m)!}\)。 組合數：在n個元素中選出m個作為集合，不同的集合數為\(\binom{n}{m ...

其實是昨天計應數課上的一個東西引出的, 總之, 我們要證明 \[\sum_r \frac 1{n-r} \binom r k = \binom n k (H_n - H_k). \] 首先 ...

今天看到個有點意思的東西（ 對於正整數 \(n\)，下式是關於 \(x,y,z_1,\cdots,z_n\) 的恆等式。 \[(x+y)(x+y+z_1+\cdots+z_n)^{n-1}=xy\sum_{I\subseteq[n]}\left(x+\sum_{i\in I}z_i ...

前言 三角式證明 求證：\(\cfrac{sin(2\alpha+\beta)}{sin\alpha}-2cos(\alpha+\beta)=\cfrac{sin\beta}{sin\alph ...

最近一部講述數學家拉馬努金(Ramanujan)和哈代(Hardy)相識、合作的電影《知無涯者》出了資源，引起了不小的關注。 拉馬努金自從百年前在英國做出工作之后，一直就是數學界的傳奇人物。雖然有一些數學家不是很認同他的工作方式，但是他的工作得到了越來越多的關注與研究是不爭的事實。按照保羅·科恩 ...