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歐拉函數 \(\varphi(n) \ or \ \phi(n)\) 表示小於n的正整數與n互質的數的個數. 性質: 當n為質數時 \(\varphi(n)=n-1\) 當n為奇數時 \(\varphi(2n) = \varphi(n)\) 證明： \(\because\)歐拉函數為積性函數 ...

也許更好的閱讀體驗 歐拉函數 定義 歐拉函數是 小於等於 x的數中與x 互質 的數的 數目 符號\(\varphi(x)\) 互質 兩個互質的數的最大公因數等於1,1與任何數互質 通式 \(\varphi(x)=x\prod_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i ...

對於正整數n，歐拉函數是小於等於n的正整數中與n互質的數的數目，表示為φ（n）。 性質1：對於素數p，φ（p）=p-1。 性質2：對於兩個互質數p，q，φ（pq）=φ（p）*φ（q）=（p-1）（q-1）。（積性函數）（易證） 性質3：若n是質數p的k次冪，φ（n）=pk-pk-1=（p-1 ...

如果$ax{\equiv}1(mod\,p)$，且a與p互質（gcd(a,p)=1），則稱a關於模p的乘法逆元為x。（不互質則乘法逆元不存在） 有一個問題，在求解過程中有除法，答案很大，要求最終答案對某數p取模。顯然，由於除法的出現，每一次運算之后取模是行不通的。（比如：求1*7/2，答案對5取 ...

本文介紹[初等]數論、群的基本概念，並引入幾條重要定理，最后籍着這些知識簡單明了地論證了歐拉函數和歐拉定理。 數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。 算術基本定理（用反證法易得）：又稱唯一分解定理，表述為 任何大於１的自然數，都可以唯一分解成有限個質數的乘積，公式：\(n=p_1 ...

歐拉定理及其證明[補檔] 一.歐拉定理 背景：首先你要知道什么是歐拉定理以及歐拉函數。 下面給出歐拉定理，對於互質的a,p來說，有如下一條定理 \[a^{\phi(p)}\equiv1(mod\;p) \] 這就是歐拉定理 二.剩余系 定義：對於集合\(\{k*m+a|k ...

擴展歐拉定理 \[a^b\equiv \begin{cases} &a^{b\%\varphi(p)} &\gcd(a,p)=1\\ &a^b &\gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ &a^{b\%\varphi(p ...