第五講 再保險與最優再保險
第一節 再保險問題
一、再保險的定義和分類
隨着社會經濟的發展，一次事故可能造成的物質損毀和人身死亡的損失程度不斷擴大。若巨額損失由單個保險人來履行賠償責任，很可能造成保險人的財務困難，甚至因此破產。事實上，任何國家的保險監管機構也不允許保險人單獨承擔超過其支付能力范圍的巨額風險。
我國《保險法》第一百零三條規定：保險公司對每一危險單位，即對一次保險事故可能造成的最大損失范圍所承擔的責任，不得超過其是有資本金加公積金總和的百分之十；超過的部分應當辦理再保險。
再保險的含義：再保險也稱分保，是保險公司在保險合同的基礎上，通過簽訂分保合同的方式，將其承擔的保險業務，以承保形式，部分轉移給其他保險人。
再保險的目的：進行再保險，可以分散保險人的風險，有利於其控制損失，穩定經營。
再保險的核心：責任轉移是再保險的核心所在。
再保險的功能：
- 第一，分散危險責任。任何保險人的資金和承受風險的能力都是有限的。為了保持保險業務正常經營和保險人的財務穩定。避免承保的風險過於集中，對於超過原保險人自身承受能力的風險，原保險人通過再保險，在同業之間相互分散風險。
- 第二，擴大承保能力。隨着社會財富積聚，巨額風險增多。保險人有時要承保的保險標的保險金額很高，如大型飛機、核電站、萬噸油輪等等，一旦發生事故，其賠償責任決不是某個保險人所能承擔的。在這種情況下，保險人通過再保險，將風險分散於多個保險公司，提高了保險人的承保能力，使原保險人能夠以有限的資金接受更高額的風險。
再保險的分類：再保險是在原保險基礎上進一步分散風險，是風險的第二次分散。
- 按責任限額，再保險可分為：
- 比例再保險：以保險金額為基礎確定分出公司自留額和接受公司責任額的再保險方式。
- 非比例再保險：以損失為基礎來確定再保險當事人雙方的責任。
- 按安排方式，再保險可分為：
- 臨時再保險：將分出業務的具體情況和分保條件逐筆告訴對方，對方是否接受或接受條件完全可以自由選擇。
- 合同再保險：雙方事先通過契約將業務范圍、地區范圍、除外責任、佣金、自留額、合同限額、帳單的編制與發送等。各項分保條件用文字固定，明確雙方權利與義務。對雙方有強制性。
- 預約再保險：對分出公司是臨時再保險，對分入公司則是合同再保險。
二、各類再保險形式的特點
比例再保險：又稱為金額再保險，以保險金額為基礎確定分出公司自留額和接受公司責任額的再保險方式，其特點為：
- 自留額和分保責任額表示為保額的一定比例；
- 雙方對於保費和賠款的分配，按照其分配保額的同一比例進行；
- 顯示了保險人與再保險人利益的一致性。
比例再保險可分為三類：成數再保險、溢額再保險和混合再保險。
成數再保險：原保險人將每一危險單位的保險金額，按約定的比率分給再保險人的方式，其特點為
- 保額、保費按一定百分比分出，賠款按同樣百分比攤回；
- 對每一危險單位有限額規定，分出公司和接受公司在這個限額中各自承擔一定的份額。
溢額再保險：雙方簽訂協議，對每一危險單位確定一個由保險人承擔的自留額，保險金額超過自留額的部分稱為溢額，由再保險人承擔，其特點為：
- 以保險金額為基礎，自留額確定，不隨保險金額變化，自留額內無需分保，超過自留額部分由溢額再保險吸收承受。
- 以自留額的一定倍數為限度稱為線數：分出額 \(/\) 自留額 \(=\) 線數。危險單位、自留額和線數稱為三要素。
成數和溢額混合再保險：將成數再保險和溢額再保險組織在一個合同里，以成數再保險的限額，作為溢額再保險的起點，再確定溢額再保險的限額。
例如：如果采用成數再保險：最高限額為 \(1000\) 萬貨運合同，自留 \(20\%\) ，分出 \(80\%\) 。
- 貨運 \(A\) 合同：\(500\) 萬，自留 \(100\) 萬，分出 \(400\) 萬，出險后責任比例 \(1:4\) 。
- 貨運 \(B\) 合同：\(1000\) 萬，自留 \(200\) 萬，分出 \(800\) 萬，出險后責任比例 \(1:4\) 。
- 貨運 \(C\) 合同：\(1500\) 萬，自留 \(200\) 萬，分出 \(800\) 萬，另有 \(500\) 萬列入其他的合同或自留，出險后責任比例 \(7:8\)
例如：如果采用溢額再保險：自留額為 \(300\) 萬，溢額分保限額為 \(10\) 線。
- 貨運 \(A\) 合同：\(500\) 萬，自留 \(300\) 萬，分出 \(200\) 萬，出險后責任比例 \(3:2\) 。
- 貨運 \(B\) 合同：\(1000\) 萬，自留 \(300\) 萬，分出 \(700\) 萬，出險后責任比例 \(3:7\) 。
- 貨運 \(C\) 合同：\(4000\) 萬，自留 \(300\) 萬，分出 \(3000\) 萬，另有 \(700\) 萬列入其他的合同或自留，出險后責任比例為 \(1:3\) 。
非比例再保險：以損失或索賠額為基礎來確定再保險當事人雙方的責任，其具有兩個限額：
- 自負責任額：分出公司根據自身財力確定，即分保合同的起賠點。
- 再保險責任額：接受公司承擔的最高責任額。
非比例再保險可分為三類：超額賠款再保險、停止損失再保險和最大賠款再保險。
超額賠款再保險：以每一危險所發生的賠款來計算自負責任額和再保險責任額，其特點為：
- 對原保險人因同一原因發生的任何一次損失或因同一原因導致的各次賠償的總和超過約定的自付額時，其超出部分有接受公司負責至一定的額度。
- 再保險責任額有一定限度。
停止損失再保險：和超額賠款再保險類似，區別在於超額賠款再保險以單個風險或一次事故為理賠基礎，而停止損失再保險是以原保險人一段時間（一般為一年）的總損失為理賠基金。停止損失再保險，合約中也要規定自留額和賠償限額。
超額賠款再保險和停止損失再保險可以用以下兩個公式加以區分：
最大賠款再保險：指的是再保險人承擔一年內金額最高的若干次索賠額，其余事故再保險人不再承擔賠償責任。
三、常見再保險的形式
從理論的角度來看，實際最常見的再保險的形式可以歸納為如下幾類函數：
-
比例再保險（Quota-share）：
\[f(x)=cx,\quad 0\leq c\leq 1. \] -
停止損失再保險（Stop-loss）：
\[f(x)=(x-d)_+,\quad d\geq0. \] -
乘數再保險（Change-loss）：
\[f(x)=c(x-d)_+,\quad 0\leq c\leq 1,\quad d\geq0. \] -
限額停止損失再保險：設 \(M\) 為最大限額，
\[f(x)=\min\{(x-d)_+,M\}. \]
第二節 最優再保險
一、再保險模型
最優再保險是指在某種意義下，選擇一個最優的再保險合同或再保險形式。
一般來說，最優再保險中的“最優”包括以下兩類：
- 在保證保險公司的效用或收益的條件下，使保險公司的風險達到最小；
- 將風險控制在一定的范圍內，使保險公司的效用或收益達到最大。
再保險模型：主要包括以下三個方面：
- 假設保險公司承擔了一個風險 \(X\) ，可以看成是一個隨機變量。
- 保險公司將風險的一部分 \(f(X)\) 轉移給再保險公司或另一家保險公司，這里 \(f(x)\) 可以看成是一個函數，滿足 \(0\leq f(x)\leq x\) 。
- 保險公司自留風險部分為 \(I(X)=X-f(X)\) ，由於向再保險公司轉移了部分風險，因此，必須要向其支付一定的保費 \(\Pi(f(X))\) 。
從風險角度考慮，再保險后，保險公司所承擔的風險為
其中 \(\Pi(\cdot)\) 為再保險保費計算原理。
如果采用風險度量 \(\rho(\cdot)\) 來度量保險公司所承擔的風險，則有
從效用角度考慮，假設保險公司財富為 \(W\) ，承擔了一個風險 \(X\) ，並收取了保費為 \(P\) 。再保險后，保險公司的財富為
如果采用效用函數 \(u(\cdot)\) 來刻畫再保險對保險公司效用，則有
特別地，如果 \(u(x)=x\) ，則 \(u(T'(X))\) 表示收益。
從風險和效用兩個角度考慮，最優再保險模型可以分為風險極小化模型和效用極大化模型。
風險極小化模型：控制效用或收益超過某個設定的值，找一個最優的函數 \(f^*(x)\) ，使 \(\rho(T(X))\) 達到極小值，即
效用極大化模型：控制風險在一定范圍內，找一個最優的函數 \(f^*(x)\) ，使 \(\mathbb{E}[u(T'(x))]\) 達到極大值，即
例如：假設 \(S\) 是一個聚合風險，服從復合泊松分布，參數為 \(\lambda\) ，索賠額 \(X\) 的分布函數為 \(F(x)\) ，其對應的密度函數為 \(p(x)\) 。
現以比例再保險的方式進行分保，即分保風險為 \((1-a)S\) ，自留風險為 \(aS\) ，即
\[\begin{aligned} &f(S)=(1-a)S=(1-a)\sum_{i=1}^NX_i, \\ \\ &T'(S)=W+P-a\sum_{i=1}^NX_i-\Pi\left[(1-a)\sum_{i=1}^NX_i\right], \end{aligned} \]采用指數保費計算原理，風險厭惡系數為 \(A\) ，則再保險保費為
\[P_{R}=\Pi\left[(1-a)\sum_{i=1}^NX_i\right]=\frac1A\ln\mathbb{E}\left[e^{(1-a)AS}\right]=\frac1A\lambda\left[m_S((1-a)A)-1\right]. \]采用指數效用，風險厭惡系數為 \(\beta\) ，\(u(x)=-\beta e^{-\beta x}\) ，使得再保險后指數效用極大，有
\[\begin{aligned} \mathbb{E}[u(T'(S))]&\propto-\beta\exp\left\{\beta P_R\right\}\mathbb{E}\left[\exp\left\{\beta a\sum_{i=1}^NX_i\right\}\right] \\ \\ &=-\beta\exp\left\{\frac{\beta \lambda}{A}\left[m_S((1-a)A)-1\right]+\lambda(m_S(a\beta)-1)\right\}. \end{aligned} \]極大化 \(\mathbb{E}[u(T'(S))]\) ，即使得
\[\frac{\mathrm{d}\mathbb{E}[u(T'(S))]}{\mathrm{d}a}=0 \quad \Longrightarrow \quad m_S((1-a)A)=m_S(a\beta) . \]解得
\[(1-a)A=a\beta \quad \Longrightarrow \quad a=\frac{A}{A+\beta}. \]所以采用以比例再保險的方式進行分保，出險后責任比例為
\[\text{自留}:\text{分出}=\frac{a}{1-a}=\frac{A}{\beta}. \]
例如：假設 \(S\) 是一個聚合風險，服從復合泊松分布，參數為 \(\lambda\) ，索賠額 \(X\) 的分布函數為 \(F(x)\) ，其對應的密度函數為 \(p(x)\) 。
現以限額停止損失再保險的方式進行分保，即分保風險為 \([X-M]_+\) ，自留風險為 \(\min\{X,M\}\) ，即
\[\begin{aligned} &f(S)=\sum_{i=1}^N[X_i-M]_+, \\ \\ &T'(S)=W+P-\sum_{i=1}^N\min\{X_i,M\}-\Pi\left[\sum_{i=1}^N[X_i-M]_+\right], \end{aligned} \]采用均值保費計算原理，則再保險保費為
\[P_R=\Pi\left[\sum_{i=1}^N[X_i-M]_+\right]=(1+\theta)\lambda\mathbb{E}\left[X_i-M\right]_+. \]采用指數效用，風險厭惡系數為 \(\beta\) ，\(u(x)=-\beta e^{-\beta x}\) ，使得再保險后指數效用極大，有
\[\begin{aligned} \mathbb{E}[u(T'(S))]\propto\;&-\exp\left\{-(1+\theta)\lambda\beta\int_M^\beta(x-M)f(x){\rm d}x\right\} \\ &\times \exp\left\{\lambda\int_0^Me^{-\beta x}f(x){\rm d}x+\lambda e^{-\beta M}\right\}. \end{aligned} \]極大化 \(\mathbb{E}[u(T'(S))]\) ，即使得
\[\frac{\mathrm{d}\mathbb{E}[u(T'(S))]}{\mathrm{d}M}=0 \quad \Longrightarrow \quad (1+\theta)=e^{-\beta M} . \]解得
\[M=\frac1\beta\ln(1+\theta). \]
二、最優再保險的基本定理
比例再保險和停止損失再保險是最重要的兩種再保險的形式，主要由下面兩個最優再保險的基本定理保證其最優性。
定理（停止損失再保險的最優性）：假設 \(\mathbb{E}[X-f(X)]=c\) ，則
即對於風險極小化模型
該模型的最優解為 \(f^*(X)=(X-d)_+\) 。
說明：如果在自留風險的收益均值相等的假設下，停止損失再保險使自留風險的方差達到最小。
因為自留風險收益相等，即
\[\mathbb{E}[X-f(X)]=\mathbb{E}[X-(X-d)_+], \]故只需證
\[\mathbb{E}[X-f(X)]^2\geq\mathbb{E}[X-(X-d)_+]^2. \]記 \(V(X)=X-f(X),\ W(X)=X-(X-d)_+\) ，故只需證
\[\mathbb{E}[V(X)-d]^2\geq\mathbb{E}[W(X)-d]^2. \]當 \(X\geq d\) 時，\((X-d)_+=X-d\) ，所以 \(W(X)-d=0\) ，所以
\[|V(X)-d|\geq|W(X)-d|=0. \]當 \(X<d\) 時，\(W(X)=X\) ，所以
\[V(X)-d=X-f(X)-d=(X-d)-f(X)\leq X-d=W(X)-d<0. \]故 \(|V(X)-d|>|W(X)-d|\) 。
綜上，則有
\[\mathbb{E}[V(X)-d]^2\geq\mathbb{E}[W(X)-d]^2. \]
定理（比例再保險的最優性）：假設 \({\rm Var}[X-f(X)]=V\) ，假設保費計算方式如下：
-
保險合同收取的保費采用均值保費計算原理，即
\[\Pi(X)=(1+\lambda)\mathbb{E}(X). \] -
再保險合同的保費采用均值方差計算原理，即
\[\Pi(X)=\mathbb{E}[f(X)]+\beta{\rm Var}[f(X)]. \]
則使保險公司在再保險后能有最大收益的最優再保險的形式為比例再保險。
再保險前，保險公司的收益為
\[(1+\lambda)\mathbb{E}(X)-X. \]再保險后，保險公司的收益為
\[(1+\lambda)\mathbb{E}(X)-X+f(X)-\mathbb{E}[f(X)]-\beta{\rm Var}[f(X)]. \]故再保險后的期望收益為
\[\mathbb{E}\left[(1+\lambda)\mathbb{E}(X)-X+f(X)-\mathbb{E}[f(X)]-\beta{\rm Var}[f(X)]\right]=\lambda\mathbb{E}(X)-\beta{\rm Var}[f(X)]. \]收益極大化模型為
\[\left\{\begin{array}{cl} \displaystyle\max_{0\leq f(x)\leq x}& \lambda\mathbb{E}(X)-\beta{\rm Var}[f(X)], \\ \\ {\rm s.t.}& {\rm Var}[X-f(X)]=V , \end{array}\right. \]由於
\[\begin{aligned} {\rm Var}[f(X)]&={\rm Var}[X-(X-f(X))] \\ \\ &={\rm Var}(X)-2{\rm Cov}(X,X-f(X))+{\rm Var}(X-f(X)) \\ \\ &=V+{\rm Var}(X)-2{\rm Cov}(X,X-f(X)). \end{aligned} \]要使得 \({\rm Var}[f(X)]=V+{\rm Var}(X)-2{\rm Cov}(X,X-f(X))\) 達到極小，注意當 \(X\) 和 \(X-f(X)\) 完全線性正相關時，\({\rm Var}[f(X)]\) 達到極小，收益極大。
完全線性正相關可以用 \(X-f(X)=a+bX\) 來表示，其中 \(b>0\) ，即 \(f(X)=-a+(1-b)X\) 。
由 \(0\leq -a+(1-b)X\leq X\) 可知 \(a=0\) ，進而由 \(0\leq(1-b)X\leq X\) 可知 \(0\leq b\leq 1\) 。
所以 \(f(X)\) 的表達式為
\[f(X)=(1-b)X,\quad 0\leq b\leq 1. \]
定理：設某個保險人的效用函數為 \(u(\cdot)\) ，且滿足 \(u'(x)\geq0\) 和 \(u''(x)<0\) ，如果在制定分保計划時采用效用極大化模型，並假設
- 保險人具有初始准備金為 \(w\) ；
- 一段時間內總損失為 \(X\) ；
- 保險人用於分保的保費為 \(c\) ；
- 再保險人采用均值保險計算原理收取保費，即 \(\Pi(X)=(1+\lambda)\mathbb{E}(X)\) ，
則采用停止損失再保險能夠使效用達到最大，即 \(f(X)=[X-d]_+\) 。
該定理和第四講的最優保險問題等同。