第四講 期望效用原理
第一節 效用函數與風險態度
效用：用來衡量個人對商品和財富的滿足程度的一種度量。
效用的數學意義：如果用 \(x\) 來代表某件商品或一定數額的貨幣，這件商品或這些貨幣對某個人產生的滿足程度或這個人的主觀價值就稱為 \(x\) 的效用，記為 \(u(x)\) ，稱為效用函數。
效用原理：經濟理論表明，商品或財富的效用隨着其絕對數量的增加而增加，但增加的速率逐漸遞減。
- 隨着商品或財富數額的不斷增加，效用增加，即一般效用函數 \(u(x)\) 是一個增函數，\(u'(x)>0\) 。
- 隨着商品或財富數額的不斷增加，效用雖然在增加，但增加的速度卻不斷下降，即 \(u''(x)<0\) 。
- 若一個人面臨從給定的行動集中做選擇的決策問題，如果他知道與給定行動有關的將來的自然狀態，且這些狀態出現的概率已知或可以估計，則他應選擇對各種可能結果的偏好的期望值最高的行動。
目前常用的效用函數族有以下幾類：
- 線性效用函數：\(u(x)=w\) ；
- 平方效用函數：\(u(x)=-(\alpha-x)^2, \ 0<x\leq\alpha\) ；
- 對數效用函數：\(u(x)=\ln(\alpha+x), \ x>-\alpha\) ；
- 指數效用函數：\(u(x)=-\alpha e^{-\alpha x}, \ \alpha>0\) ；
- 冪效用函數：\(u(x)=x^c, \ x>0,\ 0<c\leq 1\) ；
這些效用函數的特點：單調增函數 \(u'(x)>0\) ，凹函數 \(u''(x)<0\) 。
決策者的風險態度根據效用函數的性質被分為三種類型：
- 風險偏好：效用函數為下凸函數（凸函數）；
- 風險厭惡：效用函數為上凸函數（凹函數）；
- 風險中立：效用函數為線性函數。
在實際中，一個人的風險態度並不可能在任何情況下都保持同一類型。對於不同的風險，會有不同的風險態度。
風險厭惡系數：假設效用函數為 \(u(\cdot)\) ，定義決策者擁有財富為 \(w\) 時的風險厭惡系數為
風險厭惡系數反映了決策者對風險的厭惡程度，對風險越厭惡，則願意支付的保費越多。
- 線性效用函數的風險厭惡系數為 \(0\) ；
- 指數效用函數的風險厭惡系數為 \(\alpha\) ；
- 對數效用函數的風險厭惡系數為 \((\alpha+x)^{-1}\) 。
效用函數的風險厭惡系數都可以表示為 \((\gamma+\beta x)^{-1}\) ，其中 \(\gamma\) 和 \(\beta\) 為參數。
第二節 期望效用模型
一、期望效用模型
保險業和保險定價：
- 保險業可以看成是經營風險的行業。保險定價是保險實務和理論研究的核心問題之一，而保險定價的實質就是對風險進行定價。
- 效用理論可以用來描述和度量理性投保人風險偏好，是保險定價的基礎。
- 保險業之所以存在，是因為人們願意以高於他們期望索賠額的價格獲得保險保障，因此，保險公司收取高於期望理賠額的保費。
期望效用原理：
-
假設決策者使用效用函數 \(u(w)\) 去衡量其財富，而不是用財富 \(w\) 本身去衡量。
-
如果決策者必須在隨機損失 \(X\) 和 \(Y\) 之間選擇，則需比較 \(\mathbb{E}[u(w-X)]\) 和 \(\mathbb{E}[u(w-Y)]\) 的大小后做出決定。
-
決策者會選擇期望效用較大的損失，即如果
\[\mathbb{E}[u(w-X)]\geq \mathbb{E}[u(w-Y)], \]則決策者會選擇損失 \(X\) 。
被保險人利用期望效用原理決定願意支付的保費：
-
假設被保險人擁有財富 \(w\) ，面臨隨機損失 \(X\) ，使用效用函數 \(u(\cdot)\) 衡量財富。
-
希望采用保險的方式應付風險，決定為風險 \(X\) 支付的保費為 \(P\) 。
-
由期望效用原理可知，應該滿足
\[\mathbb{E}[u(w-X)]\leq u(w-P). \] -
被保險人願意支付的最大保費 \(P^+\) 由均衡方程決定：
\[\mathbb{E}[u(w-X)]= u(w-P^+). \]
保險人利用期望效用原理決定保單保費：
-
假設保險人擁有財富 \(W\) ，使用效用函數 \(U(\cdot)\) 衡量財富。
-
對於風險 \(X\) ，被保險人出保費 \(P\) ，保險人才會承接。
-
由期望效用原理可知，應該滿足
\[U(W)\leq \mathbb{E}\left[U(W+P-X)\right]. \] -
保險人願意承接風險的最小保費 \(P^-\) 由均衡方程決定：
\[U(W)= \mathbb{E}\left[U(W+P^--X)\right]. \]
二、保險合同與保險定價
保險合同的制定和簽訂的過程：
- 由保險公司根據公司的情況，即采用相應的效用函數，制定出一個最小保費 \(P^-\) ，並由此構成一個保險合同；
- 由保險公司的銷售人員將保險合同銷售出去，即找有需要保險的人。
- 需要被保險人的特征：在被保險人的效用函數下，若被保險人願意支付的最大保費 \(P^+\) 超過保險公司的最小保費，即 \(P^+\geq P^-\) ，則保險合同可以達成。
- 在此過程中還需要對被保險人的宣傳環節，以提高被保險人的保險意識，即修改被保險人原有的效用函數。
在利用期望效用原理決定保費時，應注意以下幾個問題：
- 在保險定價中，一般由保險人確定價格，即利用期望效用原理 \(U(W)= \mathbb{E}\left[U(W+P^--X)\right]\) 確定最小保費 \(P^-\) 。
- 在實際價格確定過程中，期望效用原理僅考慮了保險公司的經營決策和決策人的風險態度，除此之外，還依賴於很多其他因素，如稅收政策、市場競爭等等。因此，最后確定的價格為 \(P\not\equiv P^-\) 。
- 每個被保險人的效用函數不盡相同，所以每個被保險人給出的 \(P^+\) 不相同。只有 \(P^+\geq P^-\) 的被保險人才有可能購買保險。
- 被保險人對風險的態度不是永恆不變的，會因為他的財富、社會地位、環境的變化而變化。短時間內對某個人進行風險教育時也能改變一個人對風險的態度。
- 有時候人們對風險的態度主要依賴於風險的大小。
- 有時候人們對風險的態度還依賴於擁有的財富多少。
- 對某個人來說，他的效用函數既不是凸函數也不是凹函數.但僅考慮較大的風險，對被保人來說是風險的厭惡者，即理性行為公理。
- 保險業可以存在的原因：對於較大的風險，被保險人是風險厭惡者，即采用凹函數 \(u(x)\) 作為效用函數。因此 \(P^+\geq\mathbb{E}(X)\) 。
證明若采用凹函數 \(u(x)\) 作為效用函數，則 \(P^+\geq\mathbb{E}(X)\) 。
由效用函數 \(u(x)\) 的凹性可知
\[\mathbb{E}[u(w-X)]\leq u(\mathbb{E}(w-X))=u(w-\mathbb{E}(X)). \]根據期望效用原理，對於被保險人來說，當面臨風險 \(X\) 時，願意支付的保費 \(P^+\) 滿足
\[\mathbb{E}[u(w-X)]= u(w-P^+). \]結合以上兩式，則有
\[u(w-P^+)\leq u(w-\mathbb{E}(X)). \]由效用函數 \(u(x)\) 的單調遞增性可知
\[w-P^+\leq w-\mathbb{E}(X), \\ \\ P^+\geq \mathbb{E}(X). \]
第三節 保費計算問題
一、保費計算
例如：設某人財產在未來一個時期內不會遭到損失的概率為 \(0.75\) ，遭到損失 \(X\) 的概率密度為
再設決策者的效用函數為 \(u(x)=-e^{-0.005x}\) 。
(1) 計算該決策者為得到全額保險而願意支付的最大保費。
(2) 若保單規定保險公司只賠償實際損失的 \(50\%\) ，計算決策者願意支付的最大保費。
設決策者當前的財產為 \(w\) 。
(1) 由期望效用原理可知
\[\begin{aligned} u(w-P^+)&=\mathbb{E}[u(w-X)] \\ \\ &=0.75u(w-0)+0.25\int_0^\infty u(w-x)f(x)\mathrm{d}x. \end{aligned} \]代入效用函數和密度函數可得
\[-e^{-0.005(w-P^+)}=-0.75e^{-0.005w}-0.25\int_0^\infty-e^{-0.005(w-x)}0.01e^{-0.01x}\mathrm{d}x. \]整理后可得
\[e^{0.005P^+}=0.75+0.25\times2=1.25. \]解得該決策者願意支付的最大保費 \(P^+=200\ln(1.25)\) 。
(2) 設決策者願意支付的最大保費為 \(P^*\) ，考慮購買保險和不購買保險兩種情況：
若購買保險，決策者的財產的期望效用為
\[\begin{aligned} \mathbb{E}[u(w-P^*-X/2)]&=0.75u(w-P^*)+0.25\int_0^\infty u(w-P^*-x/2)f(x)\mathrm{d}x \\ \\ &=-\frac{13}{12}e^{-0.005(w-P^*)}. \end{aligned} \]若不購買保險，決策者的財產的期望效用為
\[\begin{aligned} \mathbb{E}[u(w-X)]&=0.75u(w)+0.25\int_0^\infty u(w-x)f(x)\mathrm{d}x \\ \\ &=-\frac54e^{-0.005w}. \end{aligned} \]由期望效用原理，決策者願意支付的最大保費應滿足兩者相等，即
\[-\frac{13}{12}e^{-0.005(w-P^*)}=-\frac54e^{-0.005w}. \]解得決策者願意支付的最大保費為 \(P^*=200\ln(15/13)\) 。
例如：假設一保險人使用參數為 \(\alpha\) 的指數效用函數，計算保險人願意承接風險 \(X\) 的最小保費。
注：采用指數效用計算得出的保費被稱為指數保費。
設保險人的財富為 \(W\) ，效用函數為 \(U(x)=-\alpha e^{-\alpha x}\) ，根據期望效用原理
\[\begin{aligned} \mathbb{E}\left[U(W+P^--X)\right]&=U(W), \\ \\ \mathbb{E}\left[-\alpha e^{-(W+P^--X)}\right]&=-\alpha e^{-\alpha W}, \\ \\ P^-=\frac1\alpha\ln\left[\mathbb{E}\left[e^{\alpha X}\right]\right]. \end{aligned} \]
例如：假設被保險人采用平方效用函數 \(u(x)=10x-x^2 \ (w<5)\) 。要承保損失為 \(1\) 發生概率為 \(0.5\) 的風險，計算被保險人願意支付的最大保費。
設被保險人的財富為 \(w\in[0.5]\) 。
由期望效用原理可知
\[u(w-P^+)=\mathbb{E}[u(w-X)]. \]代入效用函數可得
\[10(w-P^+)-(w-P^+)^2=\frac12(10w-w^2)+\frac12(10(w-1)-(w-1)^2), \]解得
\[P^+=\sqrt{\left(\frac{11}2-w\right)^2+\frac14}-(5-w),\quad 0\leq w\leq 5. \]注意：
- 如果將被保險人願意支付的最大保費看成被保險人的財富的函數 \(P^+(w)\) ，則有 \({P^+}'(w)>0\) 。因此，被保險人的財富增加時，願意支付的保費也隨之增加。
- 用二次效用函數去模擬風險厭惡型決策者的行為，並不太合適。
- 優點：只要知道風險的期望和方差，即可計算由二次效用函數計算得出的保費。
均值方差保費：設風險 \(X\) 的期望和方差分別為 \(\mathbb{E}(X)=\mu,\ {\rm Var}(X)=\sigma^2\) ，設被保險人的財富為 \(w\) ，效用函數為 \(u(x)\) ，計算其針對風險 \(X\) 願意支付的最大保費的近似解。
利用 \(u(\cdot)\) 在點 \(w-\mu\) 處泰勒展開的前幾項，有
\[\begin{aligned} &u(w-P^+)\approx u(w-\mu)+(\mu-P^+)u'(w-\mu); \\ \\ &u(w-X)\approx u(w-\mu)+(\mu-X)u'(w-\mu)+\frac12(\mu-X)^2u''(w-\mu); \end{aligned} \]兩邊求期望可得
\[\begin{aligned} \mathbb{E}[u(w-X)]&\approx u(w-\mu)+\mathbb{E}[\mu-X]u'(w-\mu)+\frac12\mathbb{E}[(\mu-X)^2]u''(w-\mu) \\ \\ &=u(w-\mu)+\frac12\sigma^2u''(w-\mu). \end{aligned} \]利用期望效用原理 \(u(w-P^+)=\mathbb{E}[u(w-X)]\) 可得
\[(\mu-P^+)u'(w-\mu)=\frac12\sigma^2u''(w-\mu), \]解得被保險人願意支付的最大保費的近似解為
\[P^+\approx\mu+\frac12r(w-\mu)\sigma^2, \]其中 \(r(\cdot)\) 為風險厭惡系數
\[r(w)=-\frac{u''(w)}{u'(w)}. \]這里的最大保費 \(P^+\) 的近似解僅依賴於風險的均值和方差，被稱為均值方差保費。
不可保風險：假設決策者使用風險厭惡系數為 \(\alpha>0\) 的指數效用函數，風險 \(X\sim\Gamma(n,1)\) ，則有
若 \(\alpha\geq1\) ，則 \(P^+=\infty\) ，表示決策者願意支付任何有限保費，這樣的風險對保險人來說是不可保的。
注意：矩母函數不存在，說明風險尾部較重，對被保險人來說，面臨這樣的風險就會有產生巨大損失的可能性。
二、最優保險問題
在保險實務中，為了防止投保人進行自我防災防損意識以減少不必要的損失，通常不是全額承保。因此，保險合同規定的理賠通常都低於實際損失。
假設損失是 \(X\) ，理賠額視損失而定，是損失的函數，記作 \(I(X)\) ，滿足 \(0< I(X) < X\) 。在某些准則下，給出最優的保險形式 \(I(X)\) 即為最優保險問題。
期望效用理論告訴我們，在考慮最優的保險形式時，主要需要考慮兩點：
- 考慮潛在損失或理賠的分布形式；
- 考慮決策者的風險態度等；
在綜合這兩個因素的基礎上才能作出合理的決策。
定理（停止損失保險的最優性）：給出如下的假設：
- 某人擁有價值為 \(w\) 的財產，並面臨某種潛在損失 \(X\) ；
- 這位財產擁有人是風險厭惡者，其效用函數為 \(U(x)\) ，即 \(U'(x)>0,\ U''(x)<0\) ；
- 保單的保費采用均值原理計算，即如果保險形式為 \(I(X)\) ，則支付的保費為 \((1+\lambda)\mathbb{E}[I(X)]\) ，其中 \(\lambda\) 被稱為安全負荷系數。
- 財產擁有者願意付出的保費為 \(P\) ，
則最優的保險形式為停止損失保險，即
其免賠額為 \(d^*\) ，由均衡方程決定：
分析：考慮以下兩種賠付形式：
- 若賠付為 \(I(X)\) ，則投保后財產擁有人的效用為 \(U(w-P-(X-I(X)))\) 。
- 若賠付為 \(I_{d}(X)\) ，則投保后財產擁有人的效用為 \(U(w-P-(X-I_d(X)))\) 。
因此，要證明對於任意的保險形式 \(I(X)\) ，有
\[\mathbb{E}\left[U(w-P-(X-I_d(X)))\right]\geq\mathbb{E}\left[U(w-P-(X-I(X)))\right]. \]證明：由效用函數的性質可知，對於任意的 \(a,b\) ，有
\[U(a)\leq U'(b)(a-b)+U(b). \]記 \(a=w-P-(X-I(X)),\ b=w-P-(X-I_d(X))\) ，有
\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left[U(w-P-(X-I(X)))\right] \\ \\ \leq\;&\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))\right]+\mathbb{E}\left[U(w-P-(X-I_d(X)))\right] . \end{aligned} \]故只需證
\[\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))\right]\leq0. \]由假設 \(U''(x)<0\) 可知，\(U'(x)\) 為單調下降的函數。
考慮 \(X\leq d\) 的情況：
\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))I_{\{X\leq d\}}\right] \\ \\ =\;&\mathbb{E}\left[U'(w-P-X)I(X)I_{\{X\leq d\}}\right] \\ \\ \leq\;&\mathbb{E}\left[U'(w-P-d)I(X)I_{\{X\leq d\}}\right] \\ \\ =\;&U'(w-P-d)\mathbb{E}\left[(I(X)-I_d(X))I_{\{X\leq d\}}\right]. \end{aligned} \]考慮 \(X>d\) 的情況：
\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))I_{\{X>d\}}\right] \\ \\ =\;&\mathbb{E}\left[U'(w-P-d)(I(X)-I_d(X))I_{\{X>d\}}\right] \\ \\ =\;&U'(w-P-d)\mathbb{E}\left[(I(X)-I_d(X))I_{\{X>d\}}\right]. \end{aligned} \]所以
\[\begin{aligned} &\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))\right] \\ \\ \leq\;&U'(w-P-d)\mathbb{E}\left[(I(X)-I_d(X))I_{\{X\leq d\}}+(I(X)-I_d(X))I_{\{X>d\}}\right] \\ \\ =\;&U'(w-P-d)\left[\mathbb{E}[I(X)]-\mathbb{E}[I_d(X)]\right]. \end{aligned} \]對於任意的 \(I(X)\) ，根據假設有 \(\mathbb{E}[I(X)]=\mathbb{E}[I_d(X)]\) ，即有
\[\mathbb{E}\left[U'(w-P-(X-I_d(X)))(I(X)-I_d(X))\right]\leq0. \]定理得證。
由於財產擁有人願意支付的保費為 \(P\) ，故 \(d^*\) 由如下均衡方程決定：
\[\mathbb{E}[I_{d^*}(X)]=(1+\lambda)\mathbb{E}[X-d^*]_+=P. \]
例如：設決策者擁有 \(10,000\) 萬元的財產，現面臨潛在損失 \(X\) ，損失在 \([0,1000]\) 上均勻分布。假設決策者的效用函數為 \(u(x)=\sqrt{x}\) ，假設保費的計算采用均值計算，若決策者願意支付的保費為 \(200\) 萬元，計算什么樣的保險形式能達到效用極大。
經檢驗，該問題滿足定理條件，故停止損失保險形式 \([X-d^*]_+\) 達到最優，並且 \(d^*\) 滿足
\[200=\int_d^{1000}(x-d)\frac1{1000}{\rm d}x=\frac{1}{2000}(1000-d)^2, \]解得 \(d^*=367.54\) 萬元。
三、Allais 悖論
Allais 悖論是決策論中的一個悖論。設計這個悖論可以用來證明期望效用理論和理性選擇公理本身存在邏輯不一致的問題。
考慮如下可能的資本收益：
\[\begin{aligned} &\begin{array}{cl} X: & \mathrm{Pr}(X=1,000,000)=1; \\ \\ Y: & \left\{\begin{aligned} &\mathrm{Pr}(Y=5,000,000)=0.10, \\ \\ &\mathrm{Pr}(Y=1,000,000)=0.89, \\ \\ &\mathrm{Pr}(Y=0)=0.01; \end{aligned}\right. \end{array} \\ \\ &\begin{array}{cl} V: & \left\{\begin{aligned} &\mathrm{Pr}(V=1,000,000)=0.11, \\ \\ &\mathrm{Pr}(V=0)=0.89; \end{aligned}\right. \\ \\ W: & \left\{\begin{aligned} &\mathrm{Pr}(W=5,000,000)=0.10, \\ \\ &\mathrm{Pr}(W=0)=0.90. \end{aligned}\right. \end{array} \end{aligned} \]考慮風險 \(X\) 和 \(Y\) 之間的選擇，以及風險 \(V\) 和 \(W\) 之間的選擇。
按照期望效用理論，風險厭惡者應該選擇 \(X\) 和 \(V\) ，風險偏好者應該選擇 \(V\) 和 \(W\) ，但實驗中的大多數人選擇了 \(X\) 和 \(W\) 。
在 \(X\) 和 \(Y\) 之間，很多人會選擇 \(X\) ，假設初始財富為 \(0\) ，\(\mathbb{E}[u(X)]>\mathbb{E}[u(Y)]\) 等價於
\[u(1,000,000)>0.10u(5,000,000)+0.89u(1,000,000)+0.01u(0), \]化簡之后即得
\[0.11u(1,000,000)>0.10u(5,000,000)+0.01u(0). \]在 \(V\) 和 \(W\) 之間，很多人會選擇 \(W\) ，假設初始財富為 \(0\) ，\(\mathbb{E}[u(W)]>\mathbb{E}[u(V)]\) 等價於
\[0.11u(1,000,000)+0.89u(0)<0.10u(5,000,000)+0.90u(0), \]化簡之后即得
\[0.11u(1,000,000)<0.10u(5,000,000)+0.01u(0). \]這兩個不等式是矛盾的！
上面的例子其實也不能完全說明問題，因為效用函數是相對風險而言的。對於不同的風險，即使是同一個人也會有不同的效用函數。因此，對於風險 \(X\) 和風險 \(Y\) 的效用函數是不同的。
可以肯定的是，期望效用並不總是能充分地描述決策者的行為。由上面的例子可以判斷，完全沒有風險的狀態與期望效用指標相比，對決策者似乎更具有吸引力。這種吸引力誘導人們作出非理性的決定。