第一個例子，如果100萬對你來說起到的作用很大，但是對巴菲特來說呢，100萬對巴菲特的幫助也很大嗎？假設100萬對你的作用是X，對巴菲特的作用是Y，那么我想 X > Y 的。
可以看出來，同樣的100萬，但是對你和巴菲特帶來的效用卻完全不同，這就是效用模型的最基本原理。
第二個例子，如果你有100萬，那么這時間10萬對你來說的效用是X；如果你有100億，那么這時間10萬對你來說的效用是Y。同樣，效用 X > Y 的。
第三個例子，如果你有100億，這世間再給你10萬好，還是不給你好呢，我想是再給10萬好，雖然這十萬帶來的效用已經很小了，對自己生活的提高已經很小了，但是還是正效用的。
用一個函數來表示這種現象，這個函數就是效用函數，從上面3個例子中，可以看出來效用函數滿足2個主要的特征：
1. 如果 x <= y，那么 u(x)<=u(y)。即如果我有100億，這時間我的效用是 u(x)；如果我有100億零10萬，之間我的效用是 u(y)，那么 u(x)<=u(y)。
2. 如果 d≥0d≥0，並且 x≤yx≤y，那么 u(x+d)−u(x)≥u(y+d)−u(y)。即當你有100萬時，10萬帶來的額外效用是 u(100 + 10) - u(100)，當你有100億時，10萬帶來的額外效用是 u(10000000000 + 10) - u(10000000000 )，例子1和例子2說明的就是這個問題。
看到上面2個特征，那么你就想到了 凹函數，對的，正常的效用函數都是凹函數：
1. 曲線是上升的
2. 曲線上升的越來越慢
凹函數例子圖：
對於凹函數如何證明，則要回顧大學時學的高數了。
例子
效用函數：
初始資金：25000
投資選項1：什么都不做，獲得收益0，概率100%。
投資后的效用為 u(x0 + x1) = u(25000 + 0) = u(25000) = 25000開根號 ≈ 158.11
投資選項2：利用15000來投資一個資產，有50%的概率獲利 15000，也有50%的概率虧掉15000.
投資后的效用為 u(x0 + x1) = u(25000 + 15000) / 2 + u(25000 - 15000) / 2 = 150
可以看出選項1和選項2的期望收益都是0 ，但是投資選項1的效用值要大於選項2，所以選項1才是效用最大的選擇。
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