可數與不可數

我們稱兩個（有限或無限）集合具有相同的基數(cardinal number)，假若它們之間能建立一個雙射。與\(\N\) 有相同基數的集合稱為可數集。

命題1：有理數全體\(\Q\) 是可數集

將有理數\(q = m/n\) 寫成\((m,n)\) 的形式，視為可數個可數集之並，仍為可數集。

命題2：實數全體\(\R\) 是不可數集

一種常見的證明方法是，在實數的無限小數定義下，構造一個不在列表中的數\(b\)，用反證法證明是不可數的。可能是沒有深入了解實數的這種定義方式，我目前實在是不好接受它證明\(b\) 不在列表中的步驟（這里有一些東西糾纏不清），所以這里就不再介紹這個方法，直接來看基於Dedekind 分割定義的，由實數基本定理，或者說通過實數的連續性來證明的方法。

證明1（Cantor 閉區間套定理）：設\(D\) 是個由實數組成的可數集：

\[D = \{a_1,\cdots,a_n,\cdots\} \sub\R. \]

又給定了一個非空閉區間\([c,d],\space c<d\)。

(i)給定實數\(r\) 以及一個非空閉區間\([k,l],\space k<l\)，一定有一個閉區間\([g,h],\space g<h\)，使得\(r\notin[g,h]\sub[k,l]\)；

設\(r\leq(k+l)/2\) 且\(k,l\geq0\)，令\(g=2(k+l)/3,\space h = l\)。其他情況同理。

(ii)存在非空閉區間\([c_1,d_1]\sub[c,d],\space c_1<d_1\)，使得\(a_1\notin[c_1,d_1]\)；

(i)\(\Rightarrow\)(ii)

(iii)若已有\(n\) 個非空閉區間\(\{[c_j,d_j]:c_j<d_j,j=1,\cdots,n \}\)，使得

\[[c_1,d_1]\supset[c_2,d_2]\supset\cdots\supset[c_n,d_n]\quad 且\quad a_j\notin[c_j,d_j](j=1,\cdots,n), \]

使用\(n\) 次(ii) 的結論

(iv)對於如上構築的區間套\(\{[c_n,d_n]:n\in\N\}\)，我們有\(\left(\bigcap_{n=1}[c_n,d_n] \right)\cap D = \empty\)；

對於任意的\(r\in \N\)，都有\(a_r\notin \bigcap_{n=1}[c_n,d_n]\)，所以\(\left(\bigcap_{n=1}[c_n,d_n] \right)\cap D = \empty\)。

(v)非空閉區間\([c,d]\) 中至少有一個數\(x\) 不屬於集合\(D = \{a_1,\cdots,a_n,\cdots\}\)；

(iv) 的自然推論

(vi)非空閉區間\([c,d]\) 不可數；

綜上，任意的可數集\(D\)，閉區間中總可以找到數\(x\notin D\)，故閉區間是不可數的，\(\R\) 自然更是不可數。

證明2（Heine-Borel 有限覆蓋定理）：

(i)設\([a,b]\sub \bigcup_{j=1}^n(c_j,d_j)\)，其中\(n\in\N,a<b,c_j<d_j,1\leq j\leq n\)，則

\[b-a<\sum_{j=1}^n(d_j-c_j). \]

被覆蓋的閉區間的長度，小於等於覆蓋區間族的長度，又因為開區間族有“重疊”，故嚴格小於。

(ii)\([a,b]\) 是個有界閉區間；\(\{I_\alpha:\alpha\in J\}\) 是個開區間族，\(J\) 是它的指標集，設\([a,b]\sub \bigcup_{\alpha\in J}I_\alpha\) ，則

\[b-a<\sup_{有限集F\sub J}\sum_{\alpha\in F}\lvert I_\alpha\rvert. \]

有限覆蓋定理與(i)，用$\sup $ 代表具體的區間長度。

(iii)設\(D\) 是個可數集，則對任何的\(\varepsilon>0\)，有可數個開區間\(I_n,n=1,2,\cdots\)，使得

\[D\sub\bigcup_{n=1}^\infty I_n,\space 且\sum_{n=1}^\infty \lvert I_n\rvert <\varepsilon. \]

利用\(\sum_{n=1}^\infty(1/2)^n = 1\) 來取\(I_n\) 的長度，可以限制無限區間族的總長度。

(iv)非空閉區間\([a,b](a<b)\) 不是可數集。

區間\([a,b]\) 不符合可數集的性質(iii)，即不可用總長度任意小的區間族覆蓋。（其實這也是實數連續性的一種說明）

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王鎂老師曾引用過一句話：“數學家做的是狐狸的工作，到達了一個地方，卻用尾巴把腳印都掃掉了”。盡管在寫書的時候，很多有心的作者會盡量介紹概念定理的前后聯系，但受限於認知規律，即使講到了，學生在獲得大量的例子或者實踐前，也沒法對這個“聯系”或者“意義”有切身的感受。這樣說來，相比於從前往后勾連，或許從后往前勾連的效果要好些。

最后稍稍討論一下研究可數集的意義。當然近從這里看是看不出來的，這篇文章與初學的視角沒什么不同。但昨晚與田孟森學長討論那個上下積分的問題時，我嘗試將上下積分視為上下極限的應用，但這需要構造一個序列——這要求可數。由於Riemann 積分的分划、選點都是在實數上的，而實數不可數，所以我的想法無法實現（多遺憾吶）。這可以說是可數集這個概念的意義的一個很好的例子。

概括來說，可數的性質，告訴我們一個數集是否可以視為一個序列來處理。這是相當有力的，畢竟我們極限的第一部分就在研究序列的極限。（這也部分說明了序列極限的意義，不僅是用來求積分，更不只是函數極限的鋪墊）