可数与不可数

我们称两个（有限或无限）集合具有相同的基数(cardinal number)，假若它们之间能建立一个双射。与\(\N\) 有相同基数的集合称为可数集。

命题1：有理数全体\(\Q\) 是可数集

将有理数\(q = m/n\) 写成\((m,n)\) 的形式，视为可数个可数集之并，仍为可数集。

命题2：实数全体\(\R\) 是不可数集

一种常见的证明方法是，在实数的无限小数定义下，构造一个不在列表中的数\(b\)，用反证法证明是不可数的。可能是没有深入了解实数的这种定义方式，我目前实在是不好接受它证明\(b\) 不在列表中的步骤（这里有一些东西纠缠不清），所以这里就不再介绍这个方法，直接来看基于Dedekind 分割定义的，由实数基本定理，或者说通过实数的连续性来证明的方法。

证明1（Cantor 闭区间套定理）：设\(D\) 是个由实数组成的可数集：

\[D = \{a_1,\cdots,a_n,\cdots\} \sub\R. \]

又给定了一个非空闭区间\([c,d],\space c<d\)。

(i)给定实数\(r\) 以及一个非空闭区间\([k,l],\space k<l\)，一定有一个闭区间\([g,h],\space g<h\)，使得\(r\notin[g,h]\sub[k,l]\)；

设\(r\leq(k+l)/2\) 且\(k,l\geq0\)，令\(g=2(k+l)/3,\space h = l\)。其他情况同理。

(ii)存在非空闭区间\([c_1,d_1]\sub[c,d],\space c_1<d_1\)，使得\(a_1\notin[c_1,d_1]\)；

(i)\(\Rightarrow\)(ii)

(iii)若已有\(n\) 个非空闭区间\(\{[c_j,d_j]:c_j<d_j,j=1,\cdots,n \}\)，使得

\[[c_1,d_1]\supset[c_2,d_2]\supset\cdots\supset[c_n,d_n]\quad 且\quad a_j\notin[c_j,d_j](j=1,\cdots,n), \]

使用\(n\) 次(ii) 的结论

(iv)对于如上构筑的区间套\(\{[c_n,d_n]:n\in\N\}\)，我们有\(\left(\bigcap_{n=1}[c_n,d_n] \right)\cap D = \empty\)；

对于任意的\(r\in \N\)，都有\(a_r\notin \bigcap_{n=1}[c_n,d_n]\)，所以\(\left(\bigcap_{n=1}[c_n,d_n] \right)\cap D = \empty\)。

(v)非空闭区间\([c,d]\) 中至少有一个数\(x\) 不属于集合\(D = \{a_1,\cdots,a_n,\cdots\}\)；

(iv) 的自然推论

(vi)非空闭区间\([c,d]\) 不可数；

综上，任意的可数集\(D\)，闭区间中总可以找到数\(x\notin D\)，故闭区间是不可数的，\(\R\) 自然更是不可数。

证明2（Heine-Borel 有限覆盖定理）：

(i)设\([a,b]\sub \bigcup_{j=1}^n(c_j,d_j)\)，其中\(n\in\N,a<b,c_j<d_j,1\leq j\leq n\)，则

\[b-a<\sum_{j=1}^n(d_j-c_j). \]

被覆盖的闭区间的长度，小于等于覆盖区间族的长度，又因为开区间族有“重叠”，故严格小于。

(ii)\([a,b]\) 是个有界闭区间；\(\{I_\alpha:\alpha\in J\}\) 是个开区间族，\(J\) 是它的指标集，设\([a,b]\sub \bigcup_{\alpha\in J}I_\alpha\) ，则

\[b-a<\sup_{有限集F\sub J}\sum_{\alpha\in F}\lvert I_\alpha\rvert. \]

有限覆盖定理与(i)，用$\sup $ 代表具体的区间长度。

(iii)设\(D\) 是个可数集，则对任何的\(\varepsilon>0\)，有可数个开区间\(I_n,n=1,2,\cdots\)，使得

\[D\sub\bigcup_{n=1}^\infty I_n,\space 且\sum_{n=1}^\infty \lvert I_n\rvert <\varepsilon. \]

利用\(\sum_{n=1}^\infty(1/2)^n = 1\) 来取\(I_n\) 的长度，可以限制无限区间族的总长度。

(iv)非空闭区间\([a,b](a<b)\) 不是可数集。

区间\([a,b]\) 不符合可数集的性质(iii)，即不可用总长度任意小的区间族覆盖。（其实这也是实数连续性的一种说明）

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王镁老师曾引用过一句话：“数学家做的是狐狸的工作，到达了一个地方，却用尾巴把脚印都扫掉了”。尽管在写书的时候，很多有心的作者会尽量介绍概念定理的前后联系，但受限于认知规律，即使讲到了，学生在获得大量的例子或者实践前，也没法对这个“联系”或者“意义”有切身的感受。这样说来，相比于从前往后勾连，或许从后往前勾连的效果要好些。

最后稍稍讨论一下研究可数集的意义。当然近从这里看是看不出来的，这篇文章与初学的视角没什么不同。但昨晚与田孟森学长讨论那个上下积分的问题时，我尝试将上下积分视为上下极限的应用，但这需要构造一个序列——这要求可数。由于Riemann 积分的分划、选点都是在实数上的，而实数不可数，所以我的想法无法实现（多遗憾呐）。这可以说是可数集这个概念的意义的一个很好的例子。

概括来说，可数的性质，告诉我们一个数集是否可以视为一个序列来处理。这是相当有力的，毕竟我们极限的第一部分就在研究序列的极限。（这也部分说明了序列极限的意义，不仅是用来求积分，更不只是函数极限的铺垫）