|LIS| = 3（最長上升子序列，DP）

題意

求滿足下列條件的序列個數：

• 長度為\(n\)
• 序列的每個元素值都在\([1,m]\)
• 最長嚴格上升子序列的長度恰好為\(3\)

數據范圍

\(3 \leq n \leq 1000\)
\(3 \leq m \leq 10\)

思路

首先回顧一下最長上升子序列的做法：

• 維護一個vector，記為\(L\)
• 對於每個元素\(A_i\)，找到滿足\(L_j \geq A_i\)的最小元素的下標（二分）。如果存在的話，用\(A_i\)替換\(L_j\)。否則，將\(A_i\)添加到\(L\)的后面。
• 最終\(L\)的長度。

因為我們只關心長度小於等於\(3\)的最長上升子序列。因此考慮\(f_{i, a, b, c}\)，前\(i\)項的序列中長度為\(1\)，\(2\)，\(3\)的最長上升子序列中結尾的最小值為\(a\)，\(b\)，\(c\)的數量。
轉移的過程中，枚舉第\(i\)個元素的數值，記為\(x\)。若\(1 \leq x \leq a\)，那么\(x\)可以替換\(a\)，則\(f_{i, x, b, c} = f_{i, x, b, c} + f_{i - 1, a, b, c}\)；若\(a + 1 \leq x \leq b\)，那么\(x\)可以替換\(b\)，則\(f_{i, a, x, c} = f_{i, a, x, c} + f_{i - 1, a, b, c}\)；若\(b + 1 \leq x \leq c\)，那么\(x\)可以替換\(c\)，則\(f_{i, a, b, x} = f_{i, a, b, x} + f_{i - 1, a, b, c}\)。

這里需要注意一點，就是若\(a = m + 1\)，表示長度為\(1\)的最長上升子序列不存在。\(b, c = m + 1\)同理。

代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int mod = 998244353, N = 1010, M = 15;

int n, m;
ll f[N][M][M][M];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    f[0][m + 1][m + 1][m + 1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        for(int a = 1; a <= m + 1; a ++) {
            for(int b = 1; b <= m + 1; b ++) {
                for(int c = 1; c <= m + 1; c ++) {
                    for(int x = 1; x <= a && x <= m; x ++) {
                        f[i][x][b][c] = (f[i][x][b][c] + f[i - 1][a][b][c]) % mod;
                    }
                    for(int x = a + 1; x <= b && x <= m; x ++) {
                        f[i][a][x][c] = (f[i][a][x][c] + f[i - 1][a][b][c]) % mod;
                    }
                    for(int x = b + 1; x <= c && x <= m; x ++) {
                        f[i][a][b][x] = (f[i][a][b][x] + f[i - 1][a][b][c]) % mod;
                    }
                }
            }
        }
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        for(int j = 1; j <= m; j ++) {
            for(int k = 1; k <= m; k ++) {
                ans = (ans + f[n][i][j][k]) % mod;
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}