從另一個角度理解慣性力

 

作者：切糕
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來源：知乎

學過《大學物理》、普通物理學《力學》或者《理論力學》的應該都了解慣性力的概念。在很多資料中，慣性力被描述為一個為了“拯救牛頓定律”而引入的“假象的力”，僅從數學角度給出了推導過程以及其合理性。我接下來要講的則是從慣性本身的角度理解慣性力。

首先來理解一下什么是慣性力

舉個例子：假設一輛車在地面上以加速度 運動，車內有一個小球被一根線吊在車頂上，線上連有一個拉力傳感器，車內還有一個能夠觀測小球運動的攝像頭。小藍同學只在車外通過電腦實時觀察拉力傳感器的示數以及小球的運動。同時地面上還有一個小紅同學在用肉眼觀測路上奔跑的車車。

圖1 實驗模型

對小紅同學來說，這個運動過程十分容易理解。即使看不到車內的情況，他也能夠預測到小球將會向后運動從而將線拉開一個角度。甚至可以用牛頓運動定律來分析小球的姿勢。

但對小藍同學就不一樣了。他並不知道這輛車的運動狀態，他只知道小球在空中靜止不動，且拉力傳感器有示數。小藍感到很詫異，拉力傳感器既然有示數，說明小球在水平方向上受力不平衡，根據牛頓第二定律 ，小球自然應該有一個加速度才對。可為什么觀察到小球是靜止不動的？難道老師教的牛頓運動定律是錯的？

現在我們來把這個實驗抽象出來。小紅站在地面上，他所在的參考系是慣性系。而小藍通過車上的設備觀測小球的運動，實際上相當於在一個相對於慣性系，以加速度 運動的參考系中進行觀測。我們把這種相對於慣性系有加速度的參考系叫做非慣性系。這個實驗，實質上就是非慣性系下如何進行動力學分析的問題。

通過上面的實驗，我們可以看出，牛頓運動定律在慣性系中是能夠很好成立的，但在非慣性系中卻不再成立了（第三定律除外）。那么這是否說明我們在非慣性系中就無法對物體進行動力學分析了？並不是，聰明的人們分析出了在非慣性系中運用牛頓運動定律的方法。

首先，伽利略變換給出了由一個慣性系轉另一個慣性系時，描述物體運動的時間、位移、速度、加速度的變換關系，其中對加速度的描述是： ，即兩個系中的加速度是相等的。這在牛頓時空觀下是很自然的結果，因為兩個慣性系之間的相互運動是勻速的，二者本身沒有相對加速度。但當其中一個參考系變成非慣性系時，它與慣性系之間就有了相對加速度。按照伽利略變換的推導過程，可以得出，此時在慣性系下觀測到的物體的加速度，可以表示成 ，其中 為非慣性系 中測得的質點 的加速度， 為 系相對於慣性系 的加速度， 則為a在 系中測得的加速度。

圖2 非慣性參考系

將式 兩端乘以質點質量 便得到： 。其中， 表示慣性系下的加速度與質量乘積，因為慣性系下牛頓第二定律成立，於是它就等於質點所受力 ，或者說，等於質點在慣性系中所受到的力。因此改寫上述表達式： ，移一下項： 。到現在為止還沒有什么不妥。式中的 表示非慣性系下的加速度與質量的乘積。我們已經知道，由於牛頓第二定律此時並不適用，因此它並不等於物體所受的力 。但現在我們要做的是，強行讓牛頓第二定律在非慣性系中成立。那么我們就定義 為物體在非慣性系中所受到的力。這樣，就會有 成立。那這不就是牛頓第二定律了么。

到此，我們得到了非慣性系下牛頓第二定律的形式： 。

但現在卻出現了一個明顯的問題，那就是表達式中的 是什么。數學上，它等於質點質量與非慣性系自身加速的乘積的相反數。在物理上，由於它有力的量綱，因此我們給它起了一個名字叫做：慣性力。其大小等於質點質量與非慣性系自身加速的乘積，方向為非慣性系自身加速度的反方向，用 表示。

因此非慣性系下的牛頓第二定律表示為： 。它的意思是，如果我們要在非慣性系中使用牛頓第二定律進行動力學分析，那么需要在質點原有的受力基礎上，再另外算上一個慣性力。此時物體所受的合力 ，才等於非慣性系下測得的質點的加速度與其質量的乘積。加上這個力之后，我們就可以把非慣性系當作慣性系來分析了。

一些資料上關於這部分的內容，大概就到這里就結束了，剩下的就是各種習題使讀者明白怎么具體分析了。但是慣性力到底是什么力，還需要讀者自己思考。

下面就說一下我從慣性本身的角度理解的慣性力

首先我們在慣性系中思考物體的慣性。物體慣性的定義為：物體保持靜止狀態或勻速直線運動狀態的性質，它表現為物體對其運動狀態變化的“抵抗”。即：物體的慣性使物體在其運動狀態（或者說速度）發生變化時，總有保持原來運動狀態（速度）的趨勢。現在我們不妨換一種描述方法：物體的慣性使物體在產生加速度時，總有保持加速度為0的趨勢。甚至更進一步，結合牛頓第二定律，我們還可以描述為：物體的慣性使物體在受力時，總有保持受力為0（或合力為0）的趨勢。

需要注意的是，物體的慣性和加速度並不是像一對等大反向的向量一樣的關系，二者雖看起來是相互制約的，但並不是制約關系。加速度可以看成是現象，而慣性則是條件。

接下來來重點了：

以上分析過程中的“慣性”概念，一直是在慣性系中定義的。也就是說我們可以在非慣性系中也定義一個“慣性”。

首先我們考慮物體不受力的情況，此時在慣性系中，物體的慣性使得物體靜止或保持勻速直線運動狀態。或者直接說保持加速度為0的狀態。接下來，還是這個不受力的物體，當在非慣性系中觀察時，物體會顯現出以等大反向加速度運動的狀態。我們就把這個狀態定義為物體在這個非慣性系下的慣性。而有了慣性的概念，牛頓第二定律也能夠建立。

舉個例子來更好地理解一下：很久很久以前，人們生活在一個慣性系當中，人們發現周圍一切事物在不受力的時候，都是靜止或勻速直線運動的，因此便定義了慣性系中慣性的概念：物體在不受力時加速度恆為0。也建立了牛頓第二定律： 。但若這群人只能在這個慣性系中觀察到非慣性系的運動，那么他們就會發現物體在不受力時總會保持一個加速度為 的運動。因此便定義了這個世界的慣性概念：物體在不受力時加速度恆為 。同樣也建立了這個世界的牛頓第二定律： 。

有了非慣性系下慣性的概念，我們發現，導出非慣性系下的牛頓第二定律就成了十分自然的事情了。如果我們定義 為“慣性系數”，則將很自然地寫出同時適用於慣性、非慣性參考系的牛頓第二定律： ，其中，慣性系數 在慣性系下等於 ，在非慣性系下等於與該參考系本身的加速度等大反向的向量。

因此，慣性力便是物體的質量與慣性系數的乘積。

由此看來，慣性力確實就是“因慣性而產生的力”。但這個“慣性”是我們將原來慣性系中“慣性”的概念延拓后，同時適用於非慣性參考系和慣性參考系的“慣性”。