从另一个角度理解惯性力

 

作者：切糕
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来源：知乎

学过《大学物理》、普通物理学《力学》或者《理论力学》的应该都了解惯性力的概念。在很多资料中，惯性力被描述为一个为了“拯救牛顿定律”而引入的“假象的力”，仅从数学角度给出了推导过程以及其合理性。我接下来要讲的则是从惯性本身的角度理解惯性力。

首先来理解一下什么是惯性力

举个例子：假设一辆车在地面上以加速度 运动，车内有一个小球被一根线吊在车顶上，线上连有一个拉力传感器，车内还有一个能够观测小球运动的摄像头。小蓝同学只在车外通过电脑实时观察拉力传感器的示数以及小球的运动。同时地面上还有一个小红同学在用肉眼观测路上奔跑的车车。

图1 实验模型

对小红同学来说，这个运动过程十分容易理解。即使看不到车内的情况，他也能够预测到小球将会向后运动从而将线拉开一个角度。甚至可以用牛顿运动定律来分析小球的姿势。

但对小蓝同学就不一样了。他并不知道这辆车的运动状态，他只知道小球在空中静止不动，且拉力传感器有示数。小蓝感到很诧异，拉力传感器既然有示数，说明小球在水平方向上受力不平衡，根据牛顿第二定律 ，小球自然应该有一个加速度才对。可为什么观察到小球是静止不动的？难道老师教的牛顿运动定律是错的？

现在我们来把这个实验抽象出来。小红站在地面上，他所在的参考系是惯性系。而小蓝通过车上的设备观测小球的运动，实际上相当于在一个相对于惯性系，以加速度 运动的参考系中进行观测。我们把这种相对于惯性系有加速度的参考系叫做非惯性系。这个实验，实质上就是非惯性系下如何进行动力学分析的问题。

通过上面的实验，我们可以看出，牛顿运动定律在惯性系中是能够很好成立的，但在非惯性系中却不再成立了（第三定律除外）。那么这是否说明我们在非惯性系中就无法对物体进行动力学分析了？并不是，聪明的人们分析出了在非惯性系中运用牛顿运动定律的方法。

首先，伽利略变换给出了由一个惯性系转另一个惯性系时，描述物体运动的时间、位移、速度、加速度的变换关系，其中对加速度的描述是： ，即两个系中的加速度是相等的。这在牛顿时空观下是很自然的结果，因为两个惯性系之间的相互运动是匀速的，二者本身没有相对加速度。但当其中一个参考系变成非惯性系时，它与惯性系之间就有了相对加速度。按照伽利略变换的推导过程，可以得出，此时在惯性系下观测到的物体的加速度，可以表示成 ，其中 为非惯性系 中测得的质点 的加速度， 为 系相对于惯性系 的加速度， 则为a在 系中测得的加速度。

图2 非惯性参考系

将式 两端乘以质点质量 便得到： 。其中， 表示惯性系下的加速度与质量乘积，因为惯性系下牛顿第二定律成立，于是它就等于质点所受力 ，或者说，等于质点在惯性系中所受到的力。因此改写上述表达式： ，移一下项： 。到现在为止还没有什么不妥。式中的 表示非惯性系下的加速度与质量的乘积。我们已经知道，由于牛顿第二定律此时并不适用，因此它并不等于物体所受的力 。但现在我们要做的是，强行让牛顿第二定律在非惯性系中成立。那么我们就定义 为物体在非惯性系中所受到的力。这样，就会有 成立。那这不就是牛顿第二定律了么。

到此，我们得到了非惯性系下牛顿第二定律的形式： 。

但现在却出现了一个明显的问题，那就是表达式中的 是什么。数学上，它等于质点质量与非惯性系自身加速的乘积的相反数。在物理上，由于它有力的量纲，因此我们给它起了一个名字叫做：惯性力。其大小等于质点质量与非惯性系自身加速的乘积，方向为非惯性系自身加速度的反方向，用 表示。

因此非惯性系下的牛顿第二定律表示为： 。它的意思是，如果我们要在非惯性系中使用牛顿第二定律进行动力学分析，那么需要在质点原有的受力基础上，再另外算上一个惯性力。此时物体所受的合力 ，才等于非惯性系下测得的质点的加速度与其质量的乘积。加上这个力之后，我们就可以把非惯性系当作惯性系来分析了。

一些资料上关于这部分的内容，大概就到这里就结束了，剩下的就是各种习题使读者明白怎么具体分析了。但是惯性力到底是什么力，还需要读者自己思考。

下面就说一下我从惯性本身的角度理解的惯性力

首先我们在惯性系中思考物体的惯性。物体惯性的定义为：物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质，它表现为物体对其运动状态变化的“抵抗”。即：物体的惯性使物体在其运动状态（或者说速度）发生变化时，总有保持原来运动状态（速度）的趋势。现在我们不妨换一种描述方法：物体的惯性使物体在产生加速度时，总有保持加速度为0的趋势。甚至更进一步，结合牛顿第二定律，我们还可以描述为：物体的惯性使物体在受力时，总有保持受力为0（或合力为0）的趋势。

需要注意的是，物体的惯性和加速度并不是像一对等大反向的向量一样的关系，二者虽看起来是相互制约的，但并不是制约关系。加速度可以看成是现象，而惯性则是条件。

接下来来重点了：

以上分析过程中的“惯性”概念，一直是在惯性系中定义的。也就是说我们可以在非惯性系中也定义一个“惯性”。

首先我们考虑物体不受力的情况，此时在惯性系中，物体的惯性使得物体静止或保持匀速直线运动状态。或者直接说保持加速度为0的状态。接下来，还是这个不受力的物体，当在非惯性系中观察时，物体会显现出以等大反向加速度运动的状态。我们就把这个状态定义为物体在这个非惯性系下的惯性。而有了惯性的概念，牛顿第二定律也能够建立。

举个例子来更好地理解一下：很久很久以前，人们生活在一个惯性系当中，人们发现周围一切事物在不受力的时候，都是静止或匀速直线运动的，因此便定义了惯性系中惯性的概念：物体在不受力时加速度恒为0。也建立了牛顿第二定律： 。但若这群人只能在这个惯性系中观察到非惯性系的运动，那么他们就会发现物体在不受力时总会保持一个加速度为 的运动。因此便定义了这个世界的惯性概念：物体在不受力时加速度恒为 。同样也建立了这个世界的牛顿第二定律： 。

有了非惯性系下惯性的概念，我们发现，导出非惯性系下的牛顿第二定律就成了十分自然的事情了。如果我们定义 为“惯性系数”，则将很自然地写出同时适用于惯性、非惯性参考系的牛顿第二定律： ，其中，惯性系数 在惯性系下等于 ，在非惯性系下等于与该参考系本身的加速度等大反向的向量。

因此，惯性力便是物体的质量与惯性系数的乘积。

由此看来，惯性力确实就是“因惯性而产生的力”。但这个“惯性”是我们将原来惯性系中“惯性”的概念延拓后，同时适用于非惯性参考系和惯性参考系的“惯性”。