層次分析法（AHP）
摘要
層次分析法主要用於計算主觀指標權重、評價選擇類問題。通常，我們衡量兩個對象是通過列出他們的指標，通過對每個指標進行打分，用總得分來確定哪個更優，然而，每個指標的重要程度是不盡相同的，我們需要通過逐個詢問確定"指標a與指標b相比哪個更重要"，根據詢問結果，建立評價矩陣，驗證可靠性，最終確定指標權重。
評價類問題
解決評價類問題，我們需要考慮一下方面：
- 評價的目標是什么
- 為了達到目標有幾種可選方案
- 評價的指標是什么
在考慮好后，我們就利用這些指標來評價哪種方案最優
打分法
假設對象\(A,B\) 可以用指標 \(a,b,c,d\) 衡量，其指標權重分別為 \(w_1,w_2,w_3,w_4\)，\(\sum w = 1\)
我們經過打分，確定對象每個指標的分數，分數越高代表更優，\(A,B\)在某項得分分別為 \(r_a,r_b\)，\(r_a+r_b = 1\)
最終，我們得出每個對象的分數： \(\sum w_ir_i\)
得分最高的對象最優
判斷矩陣
填寫判斷矩陣
一次性確定若干個指標的權重容易考慮不周，我們通過指標間的兩兩比較來推算出最終的權重
我們列出一個重要程度表：
| 標度 | 含義 |
|---|---|
| 1 | 兩個指標同等重要 |
| 3 | 一個指標比另一個指標稍微重要 |
| 5 | 一個指標比另一個指標明顯重要 |
| 7 | 一個指標比另一個指標強烈重要 |
| 9 | 一個指標比另一個指標極度重要 |
| 2,4,6,8,10 | 中間值 |
| 標度的倒數 | 如果\(a\)比\(b\)的標度是\(a\)，那么\(b\)比\(a\)的標度就是\(\frac{1}{a}\) |
下面我們根據這張表，填寫下列矩陣：
| 指標1 | 指標2 | 指標3 | 指標4 | |
|---|---|---|---|---|
| 指標1 | 1 | \(\frac{1}{a}\) | ||
| 指標2 | \(a\) | 1 | ||
| 指標3 | 1 | |||
| 指標4 | 1 |
如果指標2比指標1的標度為\(a\)，那么，將\(a\)填入第二行第一列，同時將\(\frac{1}{a}\)填入第一行第二列
最終，我們得到一個判斷矩陣 \(A\)：
- \(a_{ij}\) 表示 指標\(i\) 比 指標 \(j\)的重要程度
- \(i = j\) 時， \(a_{ij} = 1\)
- $a_{ij}>0 $ 且 \(a_{ij} \times a_{ji} = 1\)
打分法針對特定的指標，給每個對象的打分總和為 \(1\)，我們也可以視為權重，同樣可以通過判斷矩陣計算。
不一致現象
在每兩個對象之間做比較時，最終的結果可能是自相矛盾的，這會影響評價的准確性。在利用判斷矩陣計算權重之前，我們必須先進行一致性檢驗。
一致矩陣
如果判斷矩陣的行向量之間、列向量之間呈倍數關系，那么，這個矩陣是一致的。
- 如果一個 \(n\) 階正互反矩陣矩陣是一致矩陣，當且僅當最大特征值 \(\lambda_{max} = n\)
一致性檢驗
計算一致性指標 \(CI\)
查詢平均隨機一致性指標 \(RI\)
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(RI\) | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 |
計算一致性比例 \(CR\)
如果 \(CR<0.1\)，則判斷矩陣的不一致性是可以接受的，否則就要對判斷矩陣進行修正
計算指標權重
算術平均法
按列歸一化
將判斷矩陣中的每個元素除以其所在列的和 \(\frac{a_{ij}}{\sum_i a_{ij}}\)
按行求和
將歸一化后的矩陣每行元素相加，得到一個列向量\(W\)
平均化
將列向量除以\(n\)，得到的按算術平均法得到的權重 \(w_i\)
幾何平均法
按行相乘
將每行的各列元素相乘得到一個列向量 \(W\)
開方求平均
將列向量的元素開 \(n\) 次方得到幾何平均值 \(\sqrt[n]{w_i}\)
歸一化處理
將每個元素除以列向量元素之和，就得到了按幾何平均法求得的權重
特征值法求權重
當判斷矩陣的一致性可以接受時，可以用特征值法求權重
先求出判斷矩陣的最大特征值 \(\lambda_{max}\) 和對應的特征向量 \(V\)
將特征向量歸一化就得到了權重 \(w_i\)