层次分析法（AHP）
摘要
层次分析法主要用于计算主观指标权重、评价选择类问题。通常，我们衡量两个对象是通过列出他们的指标，通过对每个指标进行打分，用总得分来确定哪个更优，然而，每个指标的重要程度是不尽相同的，我们需要通过逐个询问确定"指标a与指标b相比哪个更重要"，根据询问结果，建立评价矩阵，验证可靠性，最终确定指标权重。
评价类问题
解决评价类问题，我们需要考虑一下方面：
- 评价的目标是什么
- 为了达到目标有几种可选方案
- 评价的指标是什么
在考虑好后，我们就利用这些指标来评价哪种方案最优
打分法
假设对象\(A,B\) 可以用指标 \(a,b,c,d\) 衡量，其指标权重分别为 \(w_1,w_2,w_3,w_4\)，\(\sum w = 1\)
我们经过打分，确定对象每个指标的分数，分数越高代表更优，\(A,B\)在某项得分分别为 \(r_a,r_b\)，\(r_a+r_b = 1\)
最终，我们得出每个对象的分数： \(\sum w_ir_i\)
得分最高的对象最优
判断矩阵
填写判断矩阵
一次性确定若干个指标的权重容易考虑不周，我们通过指标间的两两比较来推算出最终的权重
我们列出一个重要程度表：
| 标度 | 含义 |
|---|---|
| 1 | 两个指标同等重要 |
| 3 | 一个指标比另一个指标稍微重要 |
| 5 | 一个指标比另一个指标明显重要 |
| 7 | 一个指标比另一个指标强烈重要 |
| 9 | 一个指标比另一个指标极度重要 |
| 2,4,6,8,10 | 中间值 |
| 标度的倒数 | 如果\(a\)比\(b\)的标度是\(a\)，那么\(b\)比\(a\)的标度就是\(\frac{1}{a}\) |
下面我们根据这张表，填写下列矩阵：
| 指标1 | 指标2 | 指标3 | 指标4 | |
|---|---|---|---|---|
| 指标1 | 1 | \(\frac{1}{a}\) | ||
| 指标2 | \(a\) | 1 | ||
| 指标3 | 1 | |||
| 指标4 | 1 |
如果指标2比指标1的标度为\(a\)，那么，将\(a\)填入第二行第一列，同时将\(\frac{1}{a}\)填入第一行第二列
最终，我们得到一个判断矩阵 \(A\)：
- \(a_{ij}\) 表示 指标\(i\) 比 指标 \(j\)的重要程度
- \(i = j\) 时， \(a_{ij} = 1\)
- $a_{ij}>0 $ 且 \(a_{ij} \times a_{ji} = 1\)
打分法针对特定的指标，给每个对象的打分总和为 \(1\)，我们也可以视为权重，同样可以通过判断矩阵计算。
不一致现象
在每两个对象之间做比较时，最终的结果可能是自相矛盾的，这会影响评价的准确性。在利用判断矩阵计算权重之前，我们必须先进行一致性检验。
一致矩阵
如果判断矩阵的行向量之间、列向量之间呈倍数关系，那么，这个矩阵是一致的。
- 如果一个 \(n\) 阶正互反矩阵矩阵是一致矩阵，当且仅当最大特征值 \(\lambda_{max} = n\)
一致性检验
计算一致性指标 \(CI\)
查询平均随机一致性指标 \(RI\)
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(RI\) | 0 | 0 | 0.52 | 0.89 | 1.12 | 1.26 | 1.36 | 1.41 | 1.46 | 1.49 |
计算一致性比例 \(CR\)
如果 \(CR<0.1\)，则判断矩阵的不一致性是可以接受的，否则就要对判断矩阵进行修正
计算指标权重
算术平均法
按列归一化
将判断矩阵中的每个元素除以其所在列的和 \(\frac{a_{ij}}{\sum_i a_{ij}}\)
按行求和
将归一化后的矩阵每行元素相加，得到一个列向量\(W\)
平均化
将列向量除以\(n\)，得到的按算术平均法得到的权重 \(w_i\)
几何平均法
按行相乘
将每行的各列元素相乘得到一个列向量 \(W\)
开方求平均
将列向量的元素开 \(n\) 次方得到几何平均值 \(\sqrt[n]{w_i}\)
归一化处理
将每个元素除以列向量元素之和，就得到了按几何平均法求得的权重
特征值法求权重
当判断矩阵的一致性可以接受时，可以用特征值法求权重
先求出判断矩阵的最大特征值 \(\lambda_{max}\) 和对应的特征向量 \(V\)
将特征向量归一化就得到了权重 \(w_i\)