一.概述:
矩陣可以看做是若干個列向量的組合,同時也可以看做是若干線性方程組的系數組合.
二.矩陣和線性方程組的對應方式:
1.線性方程組:
線性方程組是指一個n元方程組,其中所有未知量的次數都是1.線性方程可以整理為如下形式:
其中an\an-1...a1\a0是系數,xn\xn-1...x1是未知數.當等號右邊常數a0=0時這個方程可以稱為齊次線性方程,反之稱為非齊次線性方程.以二維空間和三維空間為例,一個二維空間中的線性方程(二元一次方程)的圖形是一條二維空間中的直線,一個三維空間中的線性方程(三元一次方程)的圖形同樣是三維空間中的一條直線.因此,我們可以猜測更多維的空間中的線性方程也是一條直線,這里不作闡述.所以這類未知數次數均為1的方程稱為線性方程.線性方程組由若干個線性方程組成,注意:這些線性方程的數量和未知數的數量可以不同.
2.解線性方程組:消元
解線性方程組的基本方法就是消元法.消元的基本方法有代入消元法和加減消元法,現在我們嘗試整理一個標准的消元過程,可以用於解所有的線性方程組,如下圖中的例子:
第一步交換前兩個方程,第二步將第一個方程乘上系數分別加到后兩個方程上,使后兩個方程的x系數為0,第三步整理第二個方程,第四步將第二個方程乘上系數加到第三個方程上,使第三個方程y的系數為0,第五步整理第三個方程.可以看到這時方程的未知數個數依次遞減,第三個方程已經解出了未知數z的值,之后將方程從下往上依次代入即可.
總結:在消元的過程中,方程的順序可以互相交換,方程整體也可以乘上一個不為0的系數.在消元過程中實際發生消元行為的是第二\四兩步的加減消元過程.
3.使用矩陣進行消元
應用消元法可以解幾乎所有的線性方程組,但是我們發現在剛才的消元過程中,方程中的x\y\z這些未知數的位置並未發生變化,實際參與消元的是這些未知數的系數和常數項,因此我們可以省略這些未知數,只寫未知數系數和常數.實際上這些未知數系數和常數就可以組成一個矩陣.如果線性方程組的所有方程都是其次方程(常數項為0),那么這個方程組就是其次線性方程組.而齊次線性方程組中常數項也可以省略不寫.如果組成方程組的方程中有非齊次方程(常數項不為0),這個方程組就是非齊次線性方程組,這個方程組的常數項在矩陣中必須體現.因此我們一般將方程組的所有系數組成一個矩陣,對於非齊次線性方程組,在這個系數矩陣的右側增加一列,稱為增廣矩陣.上述消元過程使用矩陣描述如下圖所示:
三.方程組是否有解
我們以三元一次方程組的解為例.如果是一個三元一次齊次線性方程,我們知道它如果要有唯一解,應該有三個方程.將三個方程的系數寫成矩陣應該是一個3X3的系數矩陣,如下圖的矩陣就是一個三元一次方程組消元前后的系數矩陣:
上面的方程組就有唯一解.如果有一個方程在經過消元后系數矩陣的最后一行全為0,根據消元的過程我們知道,設三個方程分別為A\B\C,那么一定有mA+nB+C=0,其中在給第三個方程消元時,會將前兩個方程分別乘上一個系數加到第三個方程上,m和n就是乘上的系數.或者換一個說法,出現了最后一行全為0的情況時,三個方程中的某個方程一定可以由其他兩個方程乘上一個系數再加減得到,可以稱為一個方程可以由其他兩個方程線性表示,或者說雖然給定的是三個方程,但是有效的方程實際上只有兩個.在矩陣中,有一個概念是矩陣的秩,這里系數矩陣的秩就等於有效方程的個數.
顯然,對於齊次方程組而言,當系數矩陣的秩等於未知數個數時,消元后的情況就如上圖所示,方程組有唯一解;當系數矩陣的秩小於未知數個數時,有效方程個數小於未知數個數,方程組有無數解;系數矩陣的秩不可能大於未知數的個數(如果將系數矩陣看做由行向量組成,n個未知數的方程的系數最多n個,組成一個n維行向量.根據向量的知識,n個兩兩不共線的n維向量可以線性表示所有其他n維向量,因此有效方程個數比未知數多時,多余的有效方程一定可以由其他有效方程線性表示,這些多余的方程也就不再有效).
對非齊次線性方程組而言,情況則更為復雜一些,需要考慮增廣矩陣的情況.由於增廣矩陣一定比系數矩陣多一列,因此增廣矩陣的秩可能比系數矩陣大1或相同.當增廣矩陣的秩比系數矩陣的秩大1時,消元后的矩陣去除所有全0行一定有一行的系數部分全為0,常數項不為0,如下圖所示,這樣的矩陣對應的方程組必然無解;而增廣矩陣的秩等於系數矩陣的秩時則不會出現這種情況,因此解的情況和齊次線性方程組的規則相同,考慮系數矩陣即可.
四.線性方程組的解
求解線性方程組時,首先判斷是否有解及是唯一解還是無數解.當方程組有無數解時,齊次線性方程組需要求通解(通解的個數和方程組的秩相同),非齊次線性方程組需要求一組特解和所有通解,關於特解和通解的求解過程這里不詳細描述.