1.2 線性方程組解的情況及其判別

例 1：在有理數中，解線性方程組

\[\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 - x_3 = 3 \\ 2x_1 - 2x_2 - x_3 = 3 \end{cases} \]

增廣矩陣經過若干次初等行變換，可得階梯矩陣：

\[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]

該例的原方程無解

例 2：

\[\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 - x_3 = 3 \\ 2x_1 - 2x_2 - x_3 = 5 \end{cases} \]

增廣矩陣經過若干次初等行變換，可得簡化行階梯矩陣：

\[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 - x_2 &= 2 \\ x_3 &= -1 \\ 0 &= 0 \end{cases} \]

原方程有無窮多個解，一般解可以表示為：

\[\begin{cases} x_1&= x_2 + 2 \\ x_3 &= -1 \\ \end{cases} \]

\(x_2\)是自由未知量，\(x_1,x_3\)是主變量（以主元為系數）

定理 1：
在有理數集（或實數集，或復數集），\(n\)元線性方程組有且只有無解、唯一解、無窮多個解，這三種情況。
把線性方程組的增廣矩陣經過初等行變換化成階梯形。
相應的階梯形方程組出現“\(0 = d\)”\(d \neq 0\)，則原方程組無解，否則原方程組有解。
當有解時，若階梯形矩陣非\(0\)行的數目\(r\)等於未知數數目\(n\)，即\(r = n\)，則原方程組有唯一解，若\(r < n\)，則原方程組有無窮多個解。

證明：設\(n\)元階梯形方程組的增廣矩陣\(J\)有\(r\)個非零行，\(J\)有\(n + 1\)列。

• 情況 1：階梯形方程組中出現“\(0 = d\)”（其中\(d\)是非零數）這種方程，則階梯形方程組無解。
• 情況 2：不出現“\(0 = d\)”；此時\(J\)的第\(r\)個主元\(b_{rt}\)不能位於第\(n + 1\)列，因此\(t \leq n\)。又\(J\)是階梯形矩陣，則\(r \leq t \leq n\)。再將\(J\)經過初等行變換為簡化行階梯矩陣\(j_1\)
  • 情況 2.1：\(r = n\)時，此時\(J_1\)有\(n\)個主元，且第\(i\)個主元位於第\(i\)列，即：
    \[J_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_n \end{pmatrix} \]
    則\((c_1, c_2, \cdots, c_n)\)是原方程組的唯一解
  • 情況 2.2：\(r < n\)時，此時\(J_1\)有\(r\)個主元，從而\(J_1\)表示的階梯形方程組有\(r\)個主變量：\(x_1,x_{j_2}, \cdots, x_{j_r}\)，有\(n - r\)個自由未知量\(x_{i_1}, \cdots,x_{i_n}\)
    一般解為：
  \[\begin{cases} x_1 &= b_{11}x_{i_1} + \cdots + b_{1, n - r}x_{i_{n-r}} + d_1 \\ x_{j_2} &= b_{21}x_{i_1} + \cdots + b_{2, n - r}x_{i_{n-r}} + d_2 \\ \cdots \\ x_{j_r} &= b_{r1}x_{i_1} + \cdots + b_{r, n - r}x_{i_{n-r}} + d_r \\ \end{cases} \]

定義 1：
常數項全為\(0\)的線性方程組稱為齊次線性方程組\((0, 0, \cdots, 0)\)是方程的一個解，稱為零解，其余的解（若存在）稱為非零解。（由於最后一列始終是\(0\)，因此只需變換系數矩陣）。

推論 1：
\(n\)元齊次線性方程組有非零解的充要條件：其系數矩陣經過初等行變換成的階梯矩陣中，非零行的數目\(r < n\)（未知數數目）。

證明：
充分性：由定理 1 后半部分得到。
必要性：加入\(r\)不小於\(n\)，則\(r = n\)，則有唯一解只能為\(0\)解，不存在非零解，矛盾！故\(r < n\)。

推論 2：
\(n\)元齊次線性方程組如果方程的數目\(s\)小於未知量的數目\(n\)，那么其一定有非零解\((r < s < n)\)