1.2 线性方程组解的情况及其判别

例 1：在有理数中，解线性方程组

\[\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 - x_3 = 3 \\ 2x_1 - 2x_2 - x_3 = 3 \end{cases} \]

增广矩阵经过若干次初等行变换，可得阶梯矩阵：

\[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \]

该例的原方程无解

例 2：

\[\begin{cases} x_1 - x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 - x_3 = 3 \\ 2x_1 - 2x_2 - x_3 = 5 \end{cases} \]

增广矩阵经过若干次初等行变换，可得简化行阶梯矩阵：

\[\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{cases} x_1 - x_2 &= 2 \\ x_3 &= -1 \\ 0 &= 0 \end{cases} \]

原方程有无穷多个解，一般解可以表示为：

\[\begin{cases} x_1&= x_2 + 2 \\ x_3 &= -1 \\ \end{cases} \]

\(x_2\)是自由未知量，\(x_1,x_3\)是主变量（以主元为系数）

定理 1：
在有理数集（或实数集，或复数集），\(n\)元线性方程组有且只有无解、唯一解、无穷多个解，这三种情况。
把线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形。
相应的阶梯形方程组出现“\(0 = d\)”\(d \neq 0\)，则原方程组无解，否则原方程组有解。
当有解时，若阶梯形矩阵非\(0\)行的数目\(r\)等于未知数数目\(n\)，即\(r = n\)，则原方程组有唯一解，若\(r < n\)，则原方程组有无穷多个解。

证明：设\(n\)元阶梯形方程组的增广矩阵\(J\)有\(r\)个非零行，\(J\)有\(n + 1\)列。

• 情况 1：阶梯形方程组中出现“\(0 = d\)”（其中\(d\)是非零数）这种方程，则阶梯形方程组无解。
• 情况 2：不出现“\(0 = d\)”；此时\(J\)的第\(r\)个主元\(b_{rt}\)不能位于第\(n + 1\)列，因此\(t \leq n\)。又\(J\)是阶梯形矩阵，则\(r \leq t \leq n\)。再将\(J\)经过初等行变换为简化行阶梯矩阵\(j_1\)
  • 情况 2.1：\(r = n\)时，此时\(J_1\)有\(n\)个主元，且第\(i\)个主元位于第\(i\)列，即：
    \[J_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & c_1 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & c_2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & c_n \end{pmatrix} \]
    则\((c_1, c_2, \cdots, c_n)\)是原方程组的唯一解
  • 情况 2.2：\(r < n\)时，此时\(J_1\)有\(r\)个主元，从而\(J_1\)表示的阶梯形方程组有\(r\)个主变量：\(x_1,x_{j_2}, \cdots, x_{j_r}\)，有\(n - r\)个自由未知量\(x_{i_1}, \cdots,x_{i_n}\)
    一般解为：
  \[\begin{cases} x_1 &= b_{11}x_{i_1} + \cdots + b_{1, n - r}x_{i_{n-r}} + d_1 \\ x_{j_2} &= b_{21}x_{i_1} + \cdots + b_{2, n - r}x_{i_{n-r}} + d_2 \\ \cdots \\ x_{j_r} &= b_{r1}x_{i_1} + \cdots + b_{r, n - r}x_{i_{n-r}} + d_r \\ \end{cases} \]

定义 1：
常数项全为\(0\)的线性方程组称为齐次线性方程组\((0, 0, \cdots, 0)\)是方程的一个解，称为零解，其余的解（若存在）称为非零解。（由于最后一列始终是\(0\)，因此只需变换系数矩阵）。

推论 1：
\(n\)元齐次线性方程组有非零解的充要条件：其系数矩阵经过初等行变换成的阶梯矩阵中，非零行的数目\(r < n\)（未知数数目）。

证明：
充分性：由定理 1 后半部分得到。
必要性：加入\(r\)不小于\(n\)，则\(r = n\)，则有唯一解只能为\(0\)解，不存在非零解，矛盾！故\(r < n\)。

推论 2：
\(n\)元齐次线性方程组如果方程的数目\(s\)小于未知量的数目\(n\)，那么其一定有非零解\((r < s < n)\)