3.5 线性方程组解的结构

3.5 线性方程组解的结构

（1）齐次线性方程组解的结构

什么是线性方程组的解的结构？

所谓线性方程组解的结构，就是当线性方程组有五险多个解时，解与解之间的关系。

备注：当方程组存在唯一解时，无须讨论解的结构

性质1：若x=§₁, x = §₂ 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x = §₁ + §₂ 还是Ax = 0 的解

证明： A(§₁ + §₂) = A§₁ + A §₂ = 0 + 0 = 0

性质2： 若 x = § 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，k 为实数，则 x = k§ 还是 Ax = 0 的解

证明：A(k§)=k (A§) = k 0 = 0

性质3： 若 x = §₁ , x = §₂ ,……，x = §_t 是齐次线性方程组 Ax = 0 的解，则 x= k₁§₁+k₂§₂+ …… +k_t§_t 还是 Ax = 0 的解

把 Ax = 0 的全体解组成的集合记作S，若求得 S 的一个极大无关组S₀:x = §₁ , x = §₂ ,……，x = §_t ,那么 Ax = 0 的通解可表示为x= k₁§₁+k₂§₂+ …… +k_t§_t

齐次线性方程组的解集的极大无关组成为该齐次线性方程组的基础解系（不唯一）

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基础解系的概念

定义：齐次线性方程组 Ax = 0 的一组解向量：§₁ , §₂,..., §_r

如果满足

①§₁ , §₂,..., §_r 线性无关；

②方程组中任意一个解都可以表示§₁ , §₂,..., §_r 的线性组合，那么称这组解是齐次线性方程组的一个基础解系

定理1：如果齐次线性方程组有非零解，则它一定有基础解系，并且基础解系含有 n-r 个解向量。其中 n 是未知量的个数，r 是系数矩阵的秩

（二）非齐次线性方程组解的结构