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模塊導圖
知識剖析
二次函數在閉區間上的最值問題，核心是函數對稱軸與給定區間的相對位置關系的討論．
一般分為：對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況．
設\(f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)\)，求\(f(x)\)在\(x∈[m,n]\)上的最大值與最小值．
\({\color{Red}{分析}}\)：將\(f(x)\)配方，得頂點為\(\left(-\dfrac{b}{2 a}, \dfrac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)\)、對稱軸為\(x=-\dfrac{b}{2 a}\)；
當\(a>0\)時，它的圖象是開口向上的拋物線，數形結合可得在\([m,n]\)上\(f(x)\)的最值：
\((1)\)當\(-\dfrac{b}{2 a} \in[m, n]\)時，
\(f(x)\)的最小值是\(\text { 클 } f\left(-\dfrac{b}{2 a}\right)=\dfrac{4 a c-b^{2}}{4 a}\),\(f(x)\)的最大值是\(f(m)\)，\(f(n)\)中的較大者．
\((2)\)當\(-\dfrac{b}{2 a}<m\)時，由\(f(x)\)在\([m,n]\)上是增函數，則\(f(x)\)的最小值是\(f(m)\)，最大值是\(f(n)\)．
\((3)\)當\(-\dfrac{b}{2 a}>n\)時，由\(f(x)\)在\([m,n]\)上是減函數，則\(f(x)\)的最大值是\(f(m)\)，最小值是\(f(n)\)．
當\(a<0\)時，可類比得結論．
經典例題
【題型一】定軸動區間
已知\(f(x)\)是二次函數，不等式\(f(x)<0\)的解集是\((0 ,5)\)，且\(f(x)\)在區間\([-2 ,4]\)上的最大值是\(28\)．
(1)求\(f(x)\)的解析式；
(2)設函數\(f(x)\)在\(x∈[t ,t+1]\)上的最小值為\(g(t)\)，求\(g(t)\)的表達式．
【解析】(1)\(∵f(x)\)是二次函數，且\(f(x)<0\)的解集是\((0 ,5)\)，
\(∴\)可設\(f(x)=ax(x-5)(a>0)\)．
\({\color{Red}{(待定系數法，二次函數設為交點式) }}\)
\(∴f(x)\)在區間\([-2,4]\)上的最大值是\(f(-2)=14a\)．
由已知得\(14a=28\)，\(∴a=2\)，
\(∴f(x)=2x(x-5)=2x^2－10x(x∈R)\)．
(2)由(1)得\(f(x)=2(x-2.5)^2-12.5\)，
函數圖象的開口向上，對稱軸為\(x=2.5\)
\({\color{Red}{(討論對稱軸x=2.5與閉區間[t ,t+1]的相對位置)}}\)
①當\(t+1≤2.5\)時，即\(t≤1.5\)時，
\(f(x)\)在\([t ,t+1]\)上單調遞減，
\({\color{Red}{ (對稱軸在區間右側)}}\)
此時\(f(x)\)的最小值\(g(t)=f(t+1)\)\(=2(t+1)^{2}-10(t+1)=2 t^{2}-6 t-8\)；
②當\(t≥2.5\)時，\(f(x)\)在\([t ,t+1]\)上單調遞增， \({\color{Red}{(對稱軸在區間左側) }}\)
此時\(f(x)\)的最小值\(g(t)=f(t)=2t^2-10t\)；
③當\(1.5<t<2.5\)時，函數\(y=f(x)\)在對稱軸處取得最小值
\({\color{Red}{ (對稱軸在區間中間)}}\)
此時，\(g(t)=f(2.5)=－12.5\)
綜上所述，得\(g(t)\)的表達式為\(g(t)=\left\{\begin{array}{l} 2 t^{2}-6 t-8, t \leq 1.5 \\ -12.5,1.5<t<2.5 \\ 2 t^{2}-10 t, t \geq 2.5 \end{array}\right.\)．
【點撥】
① 利用待定系數法求函數解析式；
② 對於二次函數\(f(x)=2(x-2.5)^2-12.5\),對稱軸\(x=2.5\)是確定的，而函數的定義域\([t ,t+1]\)不確定，則按照對稱軸在區間的“左、中、右”分成三種情況進行討論.
【題型二】動軸定區間
求\(f(x)=x^2-2ax-1\)在區間\([0 ,2]\)上的最大值和最小值．
【解析】\(f(x)=x^2-2ax-1\)的對稱軸為\(x=a\)．
①當\(a<0\)時，如圖①可知，\(f(x)\)在\([0 ,2]\)上遞增，
\(\therefore f(x)_{\min }=f(0)=-1\)，\(f(x)_{\max }=f(2)=3-4 a\)．
②當\(0≤a≤2\)時，
\(f(x)\)在\([0 ,a]\)上遞減，在\([a ,2]\)上遞增，
\(\therefore f(x)_{\min }=f(a)=-1-a^{2}\),
而\(f(0)=-1\),\(f(2)=3-4a\)，
\({\color{Red}{(此時最大值為f(0)和f(2)中較大者)}}\)
(i)當\(0≤a<1\)時，\(f(x)_{\max }=f(2)=3-4 a\)，如圖②，
(ii)當\(1≤a≤2\)時，\(f(x)_{\max }=f(0)=-1\)，如圖③，
③當\(a>2\)時，由圖④可知，\(f(x)\)在\([0 ,2]\)上遞減，
\(\therefore f(x)_{\min }=f(2)=3-4 a\)，\(f(x)_{\max }=f(0)=-1\)．
綜上所述，
當\(a<0\)時，\(f(x)_{\min }=-1\)，\(f(x)_{\max }=3-4 a\)；
當\(0≤a<1\)時，\(f(x)_{\min }=-1-a^{2}\)，\(f(x)_{\max }=3-4 a\)；
當\(1≤a≤2\)時，\(f(x)_{\min }=-1-a^{2}\)，\(f(x)_{\max }=-1\)；
當\(a>2\)時，\(f(x)_{\min }=3-4 a\)，\(f(x)_{\max }=-1\)．
【點撥】
① 題目中的函數\(f(x)=x^2-2ax-1\)的對稱軸\(x=a\)是不確定的，定義域\([0 ,2]\)是確定的，在求最小值時與“定軸動區間”的思考一樣分對稱軸\(x=a\)在區間\([0 ,2]\)的“左、中、右”分成三種情況(即\(a<0\),\(0≤a≤2\)，\(a>2\))進行討論.
② 在求最大值時，當\(0≤a≤2\)，還需要判斷\(x=0\)和\(x=2\)時誰離對稱軸更遠些，才能確定\(f(0)\)、\(f(2)\)哪個是最大值，則還有分類\(0≤a<1\),\(1<a≤2\).
【題型三】逆向題型
已知函數\(f(x)=ax^2+(2a-1) x-3\)在區間\(\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)上最大值為\(1\)，求實數\(a\)的值．
【解析】\((1)\)若\(a=0\)， \({\color{Red}{(注意函數不一定是二次函數)}}\)
則\(f(x)=-x-3\),而\(f(x)\)在\(\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)上的最大值\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-\dfrac{3}{2} \neq 1\),
\(∴a≠0\)
\((2)\)若\(a≠0\)，則\(f(x)=ax^2+(2a-1) x-3\)的對稱軸為\(x_{0}=\dfrac{1-2 a}{2 a}=\dfrac{1}{2 a}-1\)，
則\(y=f(x)\)的最大值必定是\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)、\(f(2)\)、\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)\)這三數之一，
\((i)\)若\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=1\)，解得\(a=-\dfrac{10}{3}\)，
此時\(x_{0}=-\dfrac{23}{20} \in\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)
而\(a<0\)，\(f(x_0)\)為最大值與\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)為最大值矛盾，故此情況不成立．
\((ii)\)若\(f(2)=1\)，解得\(a=\dfrac{3}{4}\)，此時\(x_{0}=-\dfrac{1}{3} \in\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\),
而\(a=\dfrac{3}{4}>0\),\(x_{0}=-\dfrac{1}{3}\)距右端點\(2\)較遠，\(f(2)\)最大值符合條件，
\(\therefore a=\dfrac{3}{4}\).
\((iii)\)若\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)=1\)，
解得\(a=\dfrac{-3 \pm 2 \sqrt{2}}{2}\)，
當\(a=\dfrac{-3+2 \sqrt{2}}{2}<0\)時，\(x_{0}=-2 \sqrt{2}-4 \notin\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)，
則最大值不可能是\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)\)；
當\(a=\dfrac{-3-2 \sqrt{2}}{2}<0\)時 ,\(x_{0}=2 \sqrt{2}-4 \in\left[-\dfrac{3}{2}, 2\right]\)，
此時最大值為\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)\)，
\(\therefore a=\dfrac{-3-2 \sqrt{2}}{2}\)；
綜上所述\(a=\dfrac{3}{4}\)或\(a=\dfrac{-3-2 \sqrt{2}}{2}\).
【點撥】本題沒有按照分對稱軸在定義域的“左、中、右”分離討論，否則計算量會很大，還要考慮開口方向呢.思路是最大值必定是\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)、\(f(2)\)、\(f\left(\dfrac{1}{2 a}-1\right)\)這三數之一，那逐一討論求出a值后再檢驗就行.
鞏固練習
1(★★)已知函數\(f(x)=x^2+2ax+2\)．
(1)當\(a=1\)時，求函數\(f(x)\)在區間\([-2 ,3)\)上的值域；
(2)當\(a=-1\)時，求函數\(f(x)\)在區間\([t ,t+1]\)上的最大值；
(3)求\(f(x)\)在\([-5 ,5]\)上的最大值與最小值．
2(★★)已知函數\(f(x)=x^2+2mx+1\)．
(1)若\(m=1\)，求\(f(x)\)在\([-1，3]\)上的最大值和最小值；
(2)若\(f(x)\)在\([-2，2]\)為單調函數，求\(m\)的值；
(3)在區間\([-1，2]\)上的最大值為\(4\)，求實數\(m\)的值．
3(★★)已知函數\(f(x)=9x^2-6ax+a^2-10a-6\)在\(\left[-\dfrac{1}{3}, b\right]\)上恆大於或等於\(0\)，其中實數\(a∈[3,+∞)\), 求實數\(b\)的范圍.
4(★★★)已知函數\(f(x)=-\dfrac{x^{2}}{2}+x\)在區間\([m,n]\)上的最小值是\(3m\),最大值是\(3n\)，求\(m,n\)的值.
挑戰學霸
設\(a\)為實數，記函數\(f(x)=a \sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\)的最大值為\(g(a)\)．
(1)設\(t=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\)，求\(t\)的取值范圍，並把\(f(x)\)表示為\(t\)的函數\(m(t)\)，求\(m(t)\)和表達式及\(t\)的取值范圍．
(2)求\(g(a)\).
參考答案
-
\((1) [1,17]\)
\((2)\)\(\left\{\begin{array}{l} (t-1)^{2}+1, t<\dfrac{1}{2} \\ t^{2}+1, t \geq \dfrac{1}{2} \end{array}\right.\)；
\((3)\)\(a>5\)時, 最小值為\(27-10a\)，最大值為\(27+10a\)；
\(0<a≤5\)時，最小值為\(2-a^2\)，最大值為\(27+10a\)．
\(a<-5\)時，最大值為\(27-10a\)，最小值為\(27+10a\)． -
\((1)\)最大值是\(16\)，最小值\(0\)
\((2)\)\(m≥2\)或\(m≤-2\)
\((3)\)\(m=-1\)或\(-\dfrac{1}{4}\) -
\(b≤-1\)
-
\(m=-4,n=0\)
【挑戰學霸】
\((1)\)\(m(t)=\dfrac{1}{2} a t^{2}+t-a, t \in[\sqrt{2}, 2]\)
\((2)\)\(g(a)=\left\{\begin{array}{c} a+2,-\dfrac{1}{2}<a<0 \\ -a-\dfrac{1}{2 a},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<a<-\dfrac{1}{2} \\ \sqrt{2}, a<-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right.\)