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1. 歷史背景
前面我們已經整理了代數和分析的基礎知識，其中讓我收獲最大的，便是利用公理化思想給出模型的基本元素，然后逐步討論模型中的基本問題。這讓我們意識到，數學是建立在純邏輯之上的，它的結論並不對具體事物負責，然而由於其模型抽象自諸多事物的共性，這些結論卻又有着普遍的實用性。作為最古老的學科之一的幾何學，自然也是對客觀事物的抽象，幾何理論體系的建立，同樣要有簡單清晰的模型和嚴格的邏輯推理。
幾何對象來自於直觀世界的圖像，它們從誕生之初就帶有天生的視覺特性，這使得幾何在發展之初更多地還是依賴直覺。相信你即使現在隨便拿到一道幾何題，就可以進行自己的推理，好似沒有任何知識障礙，那些推理的依據也都“顯而易見、本該如此”。但直覺總會局限人們的認知，這種“顯然”的推理方法把我們限制在了這個叫做“歐幾里得”的空間里。那么在廣義的空間里，還會產生哪些不同的幾何？它們共同的起點在哪里？又在哪里產生了分叉？最終將走向如何迥異的世界？
在起點這里，我們還不能討論更多的幾何空間，而是從最為熟悉的歐幾里得空間出發，探究直覺幾何的根基到底在哪里。也就說找出最基本的幾何對象、以及它們的基本關系，用最簡單清晰的模型描述歐式幾何的本質。其實早在古希臘時期，人們就已經進行了深入的嘗試，並取得了豐碩的成果，歐幾里得的《幾何原理》中，着重闡述了那時的幾何公理系統。雖然從現在的角度看，《幾何原理》有非常多的缺點，但在歷史上確是一部豐碑式的著作。隨后兩千年的幾何教材、乃至我們的初中課本，都是以它為藍本編撰的。
直到20世紀初，希爾伯特的《幾何基礎》以排頭兵的角色，掀起了公理化運動的浪潮。人們開始重新探究幾何的本質，並尋找它的不同可能性。它以更加簡單的模型描述了歐幾里得空間的基本元素，並對公理的相容性、獨立性和完備性做了詳盡的討論。經過幾代人的打磨，《幾何基礎》已經是比較完美的公理系統，並可以完全取代《幾何原理》的位置。如果你想了解真正的數學，但又礙於知識缺乏，那不妨從幾何基礎開始，拋開直覺和成見，重新認識數學研究的過程和意義。
2. 基本概念
任何數學結構本質上就是研究基本元素和它們的基本關系，那么幾何中的基本元素是什么呢？不知是受物理學中分子學說的影響、還是受解析幾何的干擾，我們會毫不猶豫地說：幾何的基本元素是點，它組成了一切幾何對象，包括直線和平面。但在數學上，這樣的模型需要有代數系統的支持，那是一條已經走過的路。如果我們想要在直觀幾何上走得更遠，則必須重新看待所研究的幾何對象。由於歐幾里得空間的三維特性，我們就不妨把每一維中新添加的元素作為討論的起點。
一維空間中組成元素就是點，到了二維空間就產生了線的概念，三維空間則又添加了面的概念。為此，我們的起點就是不加定義的三組對象：點（\(A,B,C,\cdots\)）、直線（\(a,b,c,\cdots\)）、平面（\(\alpha,\beta,\gamma,\cdots\)）。注意，現在開始我們就要拋棄點組成直線和平面的說法，而把它們看成三組基本對象，並在此之上討論三種對象的關系。在諸多復雜的關系中，人們發現了三個本質不同的關系：關聯、介於、合同。
關聯關系其實描述了三組對象的從屬關系，它產生於之前的點組成直線、平面的思想，只不過被抽象成了一種關系（非包含）。介於關系則說明了幾何對象的空間順序，這使得對象不再是散亂的，而是有序地組織起來的，這種規則性使得三組集合具有了空間的特性。合同關系則是為空間引入了度量的概念，其中包括線段和角度的度量，由此便可以產生長度、面積、體積的概念。這三種關系是通過三組公理進行定義和闡述，它們是公理系統中最為重要的部分，由此便可以推導出大部分“直觀”的幾何結論。
希爾伯特的幾何公理可以被清晰地分為五組，除了定義了三大關系的三組公理，還有平行公理和連續公理來限制公理系統，使之等同於我們需要的歐幾里得空間。比如平行公理可以確定三角形的內角和為一個平角，連續公理和完備公理（分在連續公理一組）則把空間度量的范圍、精度等同於了實數空間。以下闡述五組公理時，我作了適當的合並或拆分，並且修改部分表述方法，只為了使理解更加暢快簡單。雖然沒有發生本質的變動，還是請閱讀后再參考一下課本的完整闡述。
為敘述方便，還要作以下聲明：以下公理中，不帶撇號修飾的不同的字母表示不同的對象，而相同字母不帶修飾和代修飾之間可以是相同的對象。比如\(A,B,C\)表示三個不同的點，而\(a,a'\)則可能是同一直線、也可能不是。
3. 關聯公理
關聯公理抽象自直覺概念中的“屬於”關系，但這里點、線、面是三個獨立的概念，並且“關聯”僅定義在點線之間和點面之間。在不產生歧義的情況下，今后我們仍然可以用“點屬於線（面）”、“點在線（面）上”、“線（面）經過點”這樣的口語，在這里等同於公理所定義的“關聯”關系。順便提一下，在拋棄“點組成學說”的同時，這里我們也大可拋棄“所有點（線、面）”、“線上的所有點”、“過點的所有直線”之類的概念，而把關注點放在問題所涉及到的對象即可。而這些對象在特定的問題中往往是有限的，這樣的假設大大簡化了問題的模型。
\(I.\) 關聯公理
\(I_1.\) 對任意兩點\(A,B\)，有且僅有一直線\(a\)與\(A,B\)都關聯。
\(I_2.\) 任一直線上至少有兩個點；直線外至少有一個點。
\(I_3.\) 對任意不共線的三點\(A,B,C\)，有且僅有一平面\(\alpha\)與它們都關聯。
\(I_4.\) 任一平面上至少有一個點；平面外至少有一個點。
\(I_5.\) 若直線\(a\)上有兩點\(A,B\)屬於平面\(\alpha\)，則\(a\)上的所有點都屬於平面\(\alpha\)。
\(I_6.\) 若平面\(\alpha,\beta\)有一個公共點\(A\)，則它們至少還有一個公共點\(B\)。
公理\(I_1\)、\(I_3\)是點與直線（平面）關聯關系的最直接描述，由它們直接可以推導出：兩條不同的直線最多只能有一個交點，兩個不同的平面不能有三個不共線的交點。公理\(I_2\)、\(I_4\)對空間對象作了最小的假設，前半句其實已經足夠展開后續的討論，后半句則將空間直接拓展到三維空間。這套公理系統直接在三維空間中進行討論，使得一些在一維、二維難以建立的性質更快捷地建立起來。結合這幾個公理，不難得到另一個確定平面的結論：過一直線和直線外一點可確定唯一平面；過兩條相交的直線可確定唯一平面。
公理\(I_5\)、\(I_6\)則是討論了直線和平面的關系。首先\(I_5\)說明：直線要么全部在平面上、要么和平面有不超過一個共同點。結合公理\(I_6\)還可知，若兩個平面有交點\(A\)，則必定相交於一條過點\(A\)的直線。再結合\(I_3\)，兩個不同平面的交點必須全部在直線\(a\)上，也就是說：兩個不同平面要么沒有交點，要么交於一條直線。
以上簡短的討論中，有關於直線、平面之間相交的結論，但僅僅屬於定性的討論。我們目前對一些定量的問題仍然沒有答案，比如過直線\(a\)外一點\(A\)且和\(a\)（不）相交的直線有多少？過平面\(\alpha\)外一點\(A\)且和\(\alpha\)（不）想交的直線（平面）有多少？這些定量的問題無法用關聯公理回答，還必須引入更多的空間和度量的概念，請帶着這些問題學習以下的公理。另外還需要提醒，不要理所當然地把這里的“點線面”對應到我們慣常的幾何對象，嘗試構造一個滿足公理但比較“扭曲”的空間，更能幫助你正確看待“點線面”。
【前序學科】抽象代數
【參考資料】
[1] 《希爾伯特幾何基礎（珍藏版）》，希爾伯特，2009
希爾伯特給歐幾里得的幾何公理化，畫上了完美的句號，也開啟了新時代幾何的探索。主體部分不難懂，附錄我沒有看，建議仔細閱讀導讀和注釋部分。