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ArmStrong公理系統
學習數據依賴的公理系統是進行模式分解的算法的理論基礎。而Armstrong公理系統是一個具有有效性和完備性的公理系統。
U是屬性總體，F是函數依賴，對於R<U,F>推理規則如下：
A1 自反律 ：若Y⊆X⊆U，則X→Y為F所蘊涵。
A2 增廣律 ：若X→Y，且Z⊆U，則XZ→YZ為F所蘊涵。
A3 傳遞律 ： 若X→Y以及X→Z為F所蘊涵，則X→Z為F所蘊涵。
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Armstrong公理系統的特點
有效性是指由F出發根據Armstrong公理推導出來的函數依賴一定在F的閉包中。
完備性是指F的閉包中的每一個函數依賴，一定可以由F出發通過Armstrong公理推導出來
因此根據有效性和完備性→引理： 設F為屬性集U上的一組函數依賴，X、Y⊆U，X→Y能由F根據Armstrong推導出來的充要條件是Y⊆F的閉包。
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如何求閉包
舉例子：有關系模式R<U,F>，U={A,B,C,D,E},F={AB→C,B→D,C→E,EC→B,AC→B}，求AB的閉包
①要求AB的閉包，因此先找出來函數依賴F中，左側包含AB或者A、B的函數依賴：AB→C，B→D。
②令X(0)=AB，Y=CD（根據①的右側推導），X(1)=X(0)∪Y=ABCD（左側與右側的並集）
③進行檢驗X(0)=X(1)?不等於。繼續找左側為ABCD子集（例如ABC、AC、C）的函數依賴：C→E、AC→B。
④再次進行X(2)=X(1)∪BE=ABCDE
⑤進行檢驗X(0)=X(2)？也不等於，但是X(2)=U。因此結束，AB的閉包為ABCDE。
因此判斷條件有兩個就是①是X(0)=X(i) ②是X(2)=U