最大公約數
方法（一）
最大公約數（最大公因數）就是幾個數公有的因數中最大的一個。
例：12與18 12的因數有1，12，2，6，3，4
18的因數有1，18，2，9，6，3
公有的因數有1，2，3，6， 所以6就是12與18的最大公約數.
而求最大公約數的方法可以總結為：
1)更相減損法：更相減損術， 出自於中國古代的《九章算術》，也是一種求最大公約數的算法。
①先判斷兩個數的大小，如果兩數相等，則這個數本身就 是就是它的最大公約數。
②如果不相等，則用大數減去小數，然后用這個較小數與它們相減的結果相比較，如果相等，則這個差就是它們的最大公約數，而如果不相等，則繼續執行②操作。
python代碼實現如下
def calMaxCommonDivisor(a,b):
"""
5-15.
最大公約數和最小公倍數。請計算兩個整型的最大公約數和最小公倍數。
:return:最大公約數和最小公倍數(用更相減損法求最大公約數)
"""
while(1):
if(a > b):
a = a-b
elif(a < b):
b = b -a
else:
return a
if __name__ == '__main__':
print(calMaxCommonDivisor(10,75))
方法（二）
第二種方法（用輾轉相除法求最大公約數）：
輾轉相除法， 又名歐幾里得算法（Euclidean algorithm），目的是求出兩個正整數的最大公約數。它是已知最古老的算法， 其可追溯至公元前300年前。
這條算法基於一個定理：兩個正整數a和b（a>b），它們的最大公約數等於a除以b的余數c和b之間的最大公約數。比如10和25，25除以10商2余5，那么10和25的最大公約數，等同於10和5的最大公約數。
2)輾轉相除法解法分析：
①當兩個數相等時，其中任意一個就是它們的最大公約數，因為它們的余數為0；
②當兩個數不相等時，用較大數除以較小數，當余數不為0時，這時
使較小數作為被除數，余數作為除數，繼續 ②的操作，直至余數為0,那么大的那個數為最大公約數；這兩個數相等時，其中任一數為最大公約數。
def maxCommonDivison(a,b):
"""
用輾轉相除法求最大公約數
:return:
"""
while(a*b != 0):
if(a > b):
a = a % b
elif(a < b):
b = b % a
else:
return a
return max(a,b)
if __name__ == '__main__':
print(maxCommonDivison(25,100))
方法（三）
第三種方法：使用遞歸（結合輾轉相除法和更相減損法的優勢以及移位運算）
眾所周知，移位運算的性能非常快。對於給定的正整數a和b，不難得到如下的結論。其中gcb(a,b)的意思是求a,b的最大公約數的函數
當a和b均為偶數，gcb(a,b) = 2*gcb(a/2, b/2) = 2*gcb(a>>1, b>>1)
當a為偶數，b為奇數，gcb(a,b) = gcb(a/2, b) = gcb(a>>1, b)
當a為奇數，b為偶數，gcb(a,b) = gcb(a, b/2) = gcb(a, b>>1)
當a和b均為奇數，利用更相減損術運算一次，gcb(a,b) = gcb(b, a-b)， 此時a-b的結果必然是偶數，又可以繼續進行移位運算。
比如計算10和25的最大公約數的步驟如下：
（10，25）———（10>>1,25 ）————-( 5,25）
（5，25 ）———-（5，25-5 ）————（5，20）
（利用更相減損法）
（5，20）———-（5，20>>1 ）———– （5，10）
（5, 10）———-（5，10>>1 ）———– （5，5）
（5，5）———–（5，5-5）———（5，0）——-5為最大公約數
def gcd(a,b):
"""
使用遞歸（結合輾轉相除法和更相減損法的優勢以及移位運算）求最大公約數 性能最好
:return:
"""
if (a == b):
return a
if (a == 0 | b == 0):
return a + b
if (a == 1 | b == 1):
return 1
if (a < b):
gcd(b, a)
else:
# 兩個數都是偶數
if((a &1) == 0 and (b &1) == 0 ) :
return gcd(a >> 1, b >> 1)<<1
# a為偶數 b為奇數
elif((a &1) == 0 and (b &1)== 1):
return gcd(a >>1,b)
# a為奇數，b為偶數
elif((a &1) == 1 and (b &1)== 0):
return gcd(a, b >>1)
else:
#兩個數都是奇數
return gcd(b, a-b)
第三種方法python實現有點問題，待解決后更新
最小公倍數：
def leastCommultiple(a,b):
"""
最小公倍數就是幾個數公有的倍數中最小的一個。
6的倍數有6，12，18，24，……
4和6 公倍數 12，18……， 所以4和6的最小公倍數是12 。
如果求a和b的最小公倍數，可以先求出它們的最大公約數，最小公倍數就是 a*b/最大公約數
:return:
"""
mcd = maxCommonDivison(a,b)
lcm = (a*b)/mcd
return lcm