【筆記】第一章 等離子體的定義

引言

• 等離子體廣泛存在於宇宙中
• 在地球外部，恆星的內部及大氣層、氣態星雲和大量的星際氫都處於等離子體狀態，因此，說宇宙中物質的99 ％以等離子體狀態存在——也就是以帶電氣體的形式存在，一點都不誇張。因為由於高溫它們的原子離解成正離子和負電子。
• 在地球內部，也可以看到許多等離子體現象，如閃電、北極光、火箭尾焰、日光燈等，只是由於它們或被封閉在容器中、或存在的時間短暫，才不會對人類產生大的影響。但有時還是給人類帶來危害，如閃擊、被尾焰灼傷等。感謝地球！

1. 1 等離子體在自然界的存在

人們經常說, 宇宙中物質的 \(99 \%\) 以等離子體狀態存在, 也就是以帶電氣體的 形式存在, 它們的原子離解成正離子和負電子. 這種估計也許不是很精確, 但鑒 於恆星的內部及大氣層、氣態星雲和大量的星際氫都是等離子體, 這種估計無疑 是合理的. 在我們周圍, 只要一離開地球的大氣, 就遇到了構成范艾倫輻射帶 (Van Allen radiation belts) 和太陽風 (solar wind) 的等離子體. 然而, 我們日 常生活中所遇到的等離子體卻只限於幾個實例: 內電、北極光 (aurora borealis) 的柔和輝光、熒光管或䨘虹燈內的導電氣體、火箭尾氣內的少量電離. 我們生活 在宇宙的 \(1 \%\) 之中, 在我們這里, 等離子體並不天然地存在.
從薩哈方程 (Saha equation) 可以看到上述論點的理由, 薩哈方程告訴我們, 處於熱平衡的氣體的電離量是

\[\frac{n_{\mathrm{i}}}{n_{\mathrm{n}}} \approx 2.4 \times 10^{15} \frac{\mathrm{T}^{3 / 2}}{n_{\mathrm{i}}} \mathrm{e}^{-U_{\mathrm{i}} / \mathrm{KT}} \]

這里, \(n_{\mathrm{i}}\) 和 \(n_{\mathrm{n}}\) 分別是已電離原子和中性原子的密度 (每立方厘米的粒子數), \(T\) 是氣體溫度 \((\mathrm{K}), K\) 是玻爾茲曼常量, \(U_{\mathrm{i}}\) 是氣體的電離能——使最外層電子離 開原子所需的爾格數 (本書用 cgs-esu 單位) . 對於室溫下的普通空氣, 我們可以 取 \(n_{n} \approx 3 \times 10^{19} \mathrm{~cm}^{-3}\) (習題 1-1), \(T \approx 300 \mathrm{~K}, U_{\mathrm{i}} \approx 14.5 \mathrm{eV}\) (對氮氣), 其中 \(1 \mathrm{eV}=\) \(1.6 \times 10^{-12} \mathrm{erg}\). (\(\text { 1erg }=1 \times 10^{-7} \mathrm{~J}\))

從方程 (1-1) 預期的電離分數 \(n_{\mathrm{i}} /\left(n_{\mathrm{n}}+n_{\mathrm{i}}\right) \approx n_{\mathrm{i}} / n_{\mathrm{n}}\) 是微乎其 微的

\[\frac{n_{\mathrm{i}}}{n_{\mathrm{n}}} \approx 10^{-122} \]

當氣體溫度升高時, 在 \(K T\) 達到 \(U_{i}\) 的幾分之一以前, 它一直保持低電離度. 溫度再升高, \(n_{i} / n_{\mathrm{n}}\) 急劇增加, 氣體就處於等離子態. 溫度的進一步增加, 使得 \(n_{\mathrm{n}}\) 低於 \(n_{\mathrm{i}}\), 等離子體最終變成完全電離的. 這就是在溫度達百萬度的天體中存在 等離子體, 而地球上不存在等離子體的理由. 生物很難與等離子體共存一一至少 不能與我們談到的那類等離子體共存. 在高溫下等離子體的自然存在是 “物質第四態” 名稱的來由.
雖然我們並不想強調薩哈方程, 然而應當指出它的物理意義. 氣體中原子的 熱能具有一個分布, 當原子偶爾受到一次高能 (足夠打出一個電子) 碰撞時, 原 子就被電離. 在冷氣體中, 由於一個原子必須通過一系列 “有利的碰撞” 才被加 速到遠高於平均值的能量, 因此這種高能碰撞很少發生. 方程 (1-1) 中的指數因 子表示快速原子數隨 \(U_{\mathrm{i}} / K T\) 指數下降. 一旦一個原子被電離, 它就保持帶電直 到遇到一個電子時為止; 那時, 它極可能與一個電子復合而再次變成中性原子. 復合率顯然依賴於電子密度, 我們認為電子密度與 \(n_{\mathrm{i}}\) 相等, 所以平衡離子密度應 當隨 \(n_{\mathrm{i}}\) 減少, 這就是方程 (1-1) 右邊出現因子 \(n_{\mathrm{i}}^{-1}\) 的原因. 恆星際媒質中存在等 離子體是由於 \(n_i\)值低( 約每 \(\mathrm{cm}^{3}\) 一個), 因而復合率低.

等離子體的定義

當然, 不是任何電離的氣體都能稱作等離子體; 在任何氣體中總會存在某些 小電離度. 下面是一個有用的定義:
等離子體是帶電粒子和中性粒子組成的表現出集體行為的一種准中性氣體.
現在, 我們必須確定 “准中性” (quasineutral) 和 “集體行為” (collective behavior）的意義. 准中性的意義將在第 \(1.4\) 節清楚地䦶述. “集體行為” 所包含 的意義如下:
考慮作用在一個分子 (如普通空氣的一個分子) 上的力. 由於分子是中性的, 在分子上不存在凈電磁力, 而重力是可以忽略的. 在這個分子與另一個分子碰撞 前, 它不受擾動地運動, 這些碰撞支配了粒子的運動. 作用在中性氣體上的宏觀 力 (像揚聲器產生的聲波) 通過碰撞傳給單個原子. 在有帶電粒子的等離子體 中, 情況則完全不同. 當這些電荷到處運動時, 它們能引起正電荷或負電荷的局 部集中, 就產生了電場. 電荷的運動也引起電流, 因而產生磁場. 這些場影響了 遠處其他帶電粒子的運動.
我們考慮等離子體中相距為 \(r\) 的兩個稍許帶電區域的相互影響 (圖 1-1). A 和 \(\mathrm{B}\) 之間的庫侖力隨 \(1 / r^{2}\) 減小而減小. 然而, 對給定的立體角 (即 \(\Delta r / r=\) 常 數), B 中能影響 A 的等離子體體積隨 \(r^{3}\) 增加而增加. 所以, 即使相距很遠的等 離子體元也存在相互作用力. 正是這個長程庫侖力給出了等離子體種類繁多的可 能運動, 並且豐富了稱作等離子體物理學的研究領域. 事實上, 最有意義的結果 是關於所謂 “無碰撞” 等離子體, 在那里長程電磁力與普通局部碰撞引起的力相 比是如此之大, 以至於可以完全忽略后者. “集體行為” 這個詞指的是不僅取決 於局部條件而且取決於遠距離區域等離子體狀態的運動.

“等離子體” 這個詞看來是一個誤稱, 這個詞來自希臘文 \(\pi \lambda \dot{\alpha} \sigma \mu \alpha,-\alpha \tau 0 \xi, \tau \dot{\delta}\), 它多少帶有塑造或制造的含義. 由於集體行為, 等離子體並不趨於順從外界影}

1.2 等離子體的定義

什么是等離子體？

• 定義：等離子體是由帶電粒子和中性粒子組成的、表現出集體行為的、一種准中性的氣體。
  我們來研究一下等離子體的三個定語：
  • 帶電粒子和中性粒子組成的（容易理解）
  • 表現出集體行為的
  • 准中性的
    我們重點討論“集體行為”和“准中性”問題。

何謂集體行為？

考慮作用在一個空氣分子上的力
由於分子是中性的，在分子上不存在凈電磁力；
又由於分子的質量為10^-27kg量級，重力可以忽略；
因此，在這個分子與另一個分子碰撞前，它將不受擾動地運動，碰撞支配了粒子的運動。
即分子之間不接觸就沒有相互作用。例如：作用在中性氣體上的宏觀力（像聲波傳遞）通過碰撞傳給單個原子。

當空氣中有帶電粒子的等離子體時，情況就不同了：
當這些電荷運動時，它們能引起正電荷或負電荷的局部集中，就會產生電場（庫倫力）；
而電荷的運動也會引起電流，因而產生磁場（洛倫茲力）；
而這些場的存在就會使得粒子之間的運動不僅影響相互碰撞的粒子，還會影響遠處其他未碰撞帶電粒子的運動。

正是這個長程庫侖力給出了等離子體種類繁多的可能運動，也使得等離子體物理學的描述變得復雜和多樣。
由於場的存在，引入了“無碰撞”等離子體。所謂“無碰撞”等離子體，是指長程電磁力遠大於普通局部碰撞引起的力，以致於可以完全忽略后者。
總結以上分析可知：
“集體行為”這個詞指的是不僅取決於局部條件而且也取決於遠距離區域等離子體狀態的運動。
由於集體行為，等離子體並不趨於順從外界的影響。而常表現出好象有自己的癖性。

1.3 溫度的概念

重新理解溫度的意義：
小時候：冷熱程度的標志。
熱力學：與粒子的平均能量有關；達到熱動平衡的標志（滿足麥克斯韋分布），各方向溫度相同。
等離子體：既然與粒子的平均能量有關，各方向溫度不一定相同。由於電磁場的存在，使得不同方向有不同的溫度。

在進一步討論問題以前, 應評論和擴充我們對 “溫度” 的物理概念. 處於熱 平衡的氣體, 其粒子有一切速度, 這些速度的最可幾分布稱作麥克斯韋分布. 為 簡單起見, 我們考慮一種氣體, 它的粒子只能在一維上運動（這不是完全無價值 的, 例如, 強磁場可約束電子, 使之只能沿着場力線運動）. 一維的麥克斯韋分 布由方程 (1-2) 給出

\[f(u)=A \exp \left(-\frac{1}{2} m u^{2} / K T\right)\tag{1-2} \]

其中, \(f\) 是速度在 \(u \sim u+\mathrm{d} u\) 范圍內每立方厘米的粒子數, \(\frac{1}{2} m u^{2}\) 是動能, \(K\) 是 玻爾茲曼常量

\[K=1.38 \times 10^{-16} \mathrm{erg} / \mathrm{K} \]

密度 \(n\) 或每立方厘米的粒子數由方程 (1-3) 給出（圖 1-2）

\[n=\int_{-\infty}^{\infty} f(u) \mathrm{d} u\tag{1-3} \]

常數 \(A\) 與密度 \(n\) 的關系是 (習題 1-2)

\[A=n\left(\frac{m}{2 \pi K T}\right)^{1 / 2}\tag{1-4} \]

分布的寬度由常數 \(T\) 來表征, 我們稱 \(T\) 為溫度. 為了了解 \(T\) 的確切意義, 我們可以計算這個分布中粒子的平均動能

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{2} m u^{2} f(u) \mathrm{d} u}{\int_{-\infty}^{\infty} f(u) \mathrm{d} u}\tag{1-5} \]

定義

\[v_{\text {th }}=\sqrt{\frac {2 \mathrm{KT} }{ \mathrm{m}}}\text { 和 } y=\frac u {v_{\text {th }}}\tag{1-6} \]

我們能將方程 (1-2) 寫成

\[f(u)=A \exp \left(-u^{2} / v_{\mathrm{th}}^{2}\right) \]

將方程 (1-5) 寫成

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{\frac{1}{2} m A v_{\mathrm{th}}^{3} \int_{-\infty}^{\infty}e^{ \left(-y^{2}\right)} y^{2} \mathrm{~d} y}{A v_{\mathrm{th}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ \left(-y^{2}\right)}\mathrm{d} y} \]

可用分部積分法求出分子中的積分

\[\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot\left[\exp \left(-y^{2}\right)\right] y \mathrm{~d} y &=\left\{-\frac{1}{2}\left[\exp \left(-y^{2}\right)\right] y\right\}_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}-\frac{1}{2} \exp \left(-y^{2}\right) \mathrm{d} y \\ &=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \exp \left(-y^{2}\right) \mathrm{d} y \end{aligned} \]

約去積分后, 得到

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{\frac{1}{2} m A v_{\mathrm{th}}^{3} \frac{1}{2}}{A v_{\mathrm{th}}}=\frac{1}{4} m v_{\mathrm{th}}^{2}=\frac{1}{2} K T\tag{1-7} \]

於是, 平均動能是 \(\frac{1}{2} K T\).
我們很容易將這個結果推廣到三維, 得到麥克斯韋分布是

\[f(u, v, w)=A_{3} \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) / K T\right]\tag{1-8} \]

其中

\[A_{3}=n\left(\frac{m}{2 \pi K T}\right)^{3 / 2} \]

平均動能是

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{\iiint_{-\infty}^{\infty} A_{3} \frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) / K T\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w}{\iiint_{-\infty}^{\infty} A_{3} \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) / K T\right] \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w} \]

注意到, 由於麥克斯韋分布是各向同性的, 這個表達式對 \(u, v, w\) 都是對稱的. 因此分子中三項的每一項與其他項是相同的. 這樣一來, 我們只需要計算第一項 並乘以 3 , 得到

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{3 A_{3} \int \frac{1}{2} m u^{2} \exp \left(-\frac{\frac{1}{2} m u^{2}}{K T}\right) \mathrm{d} u \iint \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(v^{2}+w^{2}\right) / K T\right] \mathrm{d} v \mathrm{~d} w}{A_{3} \int \exp \left(-\frac{\frac{1}{2} m u^{2}}{K T}\right) \mathrm{d} u \iint \exp \left[-\frac{1}{2} m\left(v^{2}+w^{2}\right) / K T\right] \mathrm{d} v \mathrm{~d} w} \]

采用我們前面的結果, 就得到

\[E_{\mathrm{av}}=\frac{3}{2} K T \]

普遍的結果是: 每個自由度的平均能量等於 \(\frac{1}{2} K T\).

可見等離子體非常接近理想氣體

既然 \(T\) 和 \(E_{\mathrm{av}}\) 是如此緊密相關, 所以在等離子體物理學中, 溫度通常用能量單位來表示. 為了避免在所包含維數上發生混淆, 所以不用 \(E_{\mathrm{av}}\) 而用對應於 \(K T\) 的能量來表示溫度. 對於 \(K T=1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-12} \mathrm{erg}\)

\[T=\frac{1.6 \times 10^{-12}}{1.38 \times 10^{-16}}=11600\tag{1-10} \]

於是轉換因子是

\[1 \mathrm{eV}=11600 \mathrm{~K}\tag{1-11} \]

一個 \(2 \mathrm{eV}\) 的等離子體指的是它的 \(K T=2 \mathrm{eV}\), 或者說在三維 (空間) 中它的 \(E_{\mathrm{av}}=3 \mathrm{eV}\).
等離子體可以同時具有幾個溫度是頗有意義的. 離子和電子經常具有不同溫 度 \(T_{\mathrm{i}}\) 和 \(T_{\mathrm{e}}\) 的獨立麥克斯韋分布. 這是因為離子之間或電子之間的碰撞率大於離 子和電子之間的碰撞率. 這樣, 每一種粒子能處於自身的熱平衡中, 而等離子體 也許不能持續足夠長時間使兩個溫度相等. 當存在磁場 \(\boldsymbol{B}\) 時, 連單一種類粒子 (如離子) 都可能有兩個溫度. 這是因為沿着 \(\boldsymbol{B}\) 作用在一個離子上的力與垂直 \(\boldsymbol{B}\) 作用在一個離子上的力是不同的（由於洛倫茲力）. 這樣, 垂直於 \(\boldsymbol{B}\) 和平行於 \(\boldsymbol{B}\) 的速度分量可能屬於具有溫度 \(T_{\perp}\) 和 \(T_{\|}\)的不同麥克斯韋分布.
在結束對溫度概念的評論之前, 我們應當消除流行的錯誤概念, 即高溫度必 須意味着大量的熱. 人們在聽到熒光燈管內電子溫度大約是 \(20000 \mathrm{~K}\) 時, 通常感 到驚訝: “啊! 並不感到那么熱呀!” 當然, 也必須考慮到熱容量. 在熒光燈管內 的電子密度遠低於大氣壓下的氣體密度, 電子以它們的熱速度打擊壁而傳遞到壁的 總熱量, 並不是那么大的. 每個人都有這樣的經驗, 知道香煙灰落在手上是不傷手 的. 雖然其溫度高到足夠引起燃燒, 但包含的總熱量是不大的. 很多實驗室的等離 子體具有 \(1000000 \mathrm{~K}(100 \mathrm{eV})\) 量級的溫度, 但密度只有 \(10^{12} \sim 10^{13} \mathrm{~cm}^{-3}\), 因此壁的 變熱並不是一個需要嚴重考慮的問題.

1.4 德拜屏蔽

等離子體的第三個定語是准中性
何謂准中性？
等離子體行為的一個基木特性是：它具有屏蔽掉作用於它上面的電勢的能力。
為什么會有這種屏蔽能力哪？
別忘了等離子體是由帶電粒子和中性粒子組成的（第一個定語）。而帶電粒子具有電性，粒子具有運動性。

• 下面我們給定一種具有普適性的情況：在等離子體內插入兩個和電池相連的帶電球，以試圖在等離子體內部引進一個電場（見1-3）。
  
  球會吸引相反電荷的粒子，幾乎立刻就在負電球周圍形成離子雲，在正電球周圍形成電子雲。
  我們假定：介電層阻止了等離子體在電極表面上的復合；或者盡管存在着復合，但電池容量足夠大，能夠保持這個電勢。
  • 先進行定性分析：
    倘若等離子體是冷的，不存在熱運動，則雲中的電荷剛好與球上的電荷一樣多；屏蔽就是完全的，在雲外面的等離子體內部就會不存在電場。
    如果等離子體有一定的溫度，處在雲邊緣(此處的電場弱)的那些粒子就有足夠的熱能逃逸出靜電勢場。而屏蔽是不完全的。
    此時，雲“邊緣”出現在勢能近似等於粒子熱能kT的半徑上，而屏蔽是不完全的。
    kT/e量級的電勢能夠漏入等離子體中並引起有限的電場。
  • 下面我們計算這種電荷雲的近似厚度. 設想用一個完全透明的柵極, 使 \(x=0\) 平面的電勢 \(\phi\) 保持在 \(\phi_{0}\) 值 (圖 1-4) . 我們希望計算 \(\phi(x)\). 為簡單起見, 我們假 定離子-電子質量比 \(M / m\) 是無限大, 所以離子不運動, 而形成一個均勻正電荷本 底. 更確切地說, \(M / m\) 足夠大, 使得在實驗的時間尺度上, 離子的慣性阻止了它 們有效地運動. 一維泊松方程為

\(\nabla^{2} \varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon}\)
采用自然單位制

\[\nabla^{2} \varphi=-4 \pi\left(\rho_{e}\right) \]

\[\nabla^{2} \phi=\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=-4 \pi e\left(n_{\mathrm{i}}-Zn_{\mathrm{e}}\right) \quad(Z=1)\tag{1-12} \]

其中，ni為離子數密度，ne為電子數密度，Z為電離度，此處取電離一個電子

如果遠處的密度是 \(n_{\infty}\), 得到

\[n_{\mathrm{i}}=n_{\infty} \]

遠處\(\nabla^{2} \phi=0,n_i=n_{\infty}\)

在勢能 \(q \phi\) 存在時, 電子分布函數為

\[f(u)=A \exp \left[-\left(\frac{1}{2} m u^{2}+q \phi\right) / K T_{\mathrm{e}}\right] \]

一維麥克斯韋分布？
處於熱 平衡的氣體, 其粒子有一切速度, 這些速度的最可幾分布稱作麥克斯韋分布. 為 簡單起見, 我們考慮一種氣體, 它的粒子只能在一維上運動（這不是完全無價值 的, 例如, 強磁場可約束電子, 使之只能沿着場力線運動）
密度 \(n\) 或每立方厘米的粒子數 \(n=\int_{-\infty}^{\infty} f(u) \mathrm{d} u\)
\(A=n\left(\frac{m}{2 \pi K T}\right)^{1 / 2}\)

在這里, 沒有必要證明這個式子. 此方程所說明的內容是很顯然的: 在勢能大的 位置, 粒子數較少, 因為不是所有粒子具有足夠到達那里的能量. 對 \(u\) 積分 \(f(u)\), 令 \(q=-e\), 並注意到 \(n_{\mathrm{e}}(\phi \rightarrow 0)=n_{\infty}\), 求出

\[n_{\mathrm{e}}=n_{\infty} \exp \left(e \phi / K T_{\mathrm{e}}\right) \]

這是電子的玻爾茲曼關系。

\[\begin{align} &\int _{-\infty}^{+\infty}f(u)\mathrm{d}x=Ae^{-\frac {q\phi}{KT_e}}\int _{-\infty}^{+\infty}e^{-\frac{\frac {1}{2} mu^2}{KT_e}}\mathrm{d}u\\ &n=Ae^{-\frac {q\phi}{KT_e}}\int _{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda u^2}\mathrm{d}u\\ &\lambda=\frac{\frac {1}{2} m}{KT_e}\\ &\because \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\lambda x^2}\mathrm{d}x=\sqrt{\frac {\pi}{\lambda}}\\ &\therefore n=Ae^{-\frac {q\phi}{KT_e}}\sqrt{\frac {\pi}{\frac{\frac {1}{2} m}{KT_e}}}\\ &\because n_{\mathrm{e}}(\phi \rightarrow 0)=n_{\infty}\\ &\therefore n_{\infty}=A\sqrt{\frac {\pi}{\frac{\frac {1}{2} m}{KT_e}}}\\ &\therefore n_e=n_{\infty}e^{-\frac {q\phi}{KT_e}}=n_{\infty}e^{\frac {e\phi}{KT_e}}& \end{align} \]

在 \(3.5\) 節, 我們將用較完整的物理見解推導這個方程.

把 \(n_{\mathrm{i}}\) 和 \(n_{\mathrm{e}}\) 代人方程 (1-12), 得到

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=4 \pi e n_{\infty}\left\{\left[\exp \left(\frac{e \phi}{K T_{\mathrm{e}}}\right)\right]-1\right\} \]

\[\begin{align} &n_i=n_{\infty}\\ &n_e=n_{\infty}e^{\frac {e\phi}{KT_e}}\\ &\nabla^{2} \phi=\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=-4 \pi e\left(n_{\mathrm{i}}-n_{\mathrm{e}}\right)=-4 \pi e\left(n_{\infty}-n_{\infty}e^{\frac {e\phi}{KT_e}}\right)=4 \pi n_{\infty}e\left(e^{\frac {e\phi}{KT_e}}-1\right) \end{align} \]

在 \(\left|e \phi / K T_{\mathrm{e}}\right| \ll 1\) 的區域, 式中的指數能用泰勒級數展開

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=4 \pi e n_{\infty}\left[\frac{e \phi}{K T_{\mathrm{e}}}+\frac{1}{2}\left(\frac{e \phi}{K T_{\mathrm{e}}}\right)^{2}+\cdots\right]\tag{1-13} \]

在接近柵極的區域, 不可能作簡化, 因為在那里 \(\left|e \phi / K T_{\mathrm{e}}\right|\) 可能是大值. 幸好這 個區域對雲 (叫做鞘層) 的厚度影響並不大, 因為在那個區域中, 電勢非常迅速 地下降. 在方程 (1-13) 中只保留線性項, 得到

\[\frac{\mathrm{d}^{2} \phi}{\mathrm{d} x^{2}}=\frac{4 \pi n_{\infty} e^{2}}{K T_{\mathrm{e}}} \phi\tag{1-14} \]

定義

\[\lambda_{\mathrm{D}} \equiv\left(\frac{K T_{\mathrm{e}}}{4 \pi n e^{2}}\right)^{1 / 2}\tag{1-15} \]

式中, \(n\) 代替了 \(n_{\infty}\), 我們能寫出方程 (1-14) 的解

\[\phi=\phi_{0} \exp \left(-|x| / \lambda_{\mathrm{D}}\right)\tag{1-16} \]

解二階齊次微分方程\(\phi''-\frac 1 {\lambda_D^2}\phi=0\)

特征方程\(r^2-\frac 1 {\lambda_D^2}=0\),\(r^2=\frac 1 {\lambda_D^2}\),\(r=\pm\frac 1 {\lambda_D}\)

\(\phi=C_1e^{\frac 1 {\lambda_D}x}+C_2e^{-\frac 1 {\lambda_D}x}\)

在無窮處趨於零，確定系數

量 \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 稱為德拜長度 (Debye length), 它是屏蔽距離或鞘層厚度的量度.
應當注意, 當密度增加時, 由於每層等離子體包含了較多的電子, 所以正如 我們所期望的那樣, \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 減小. 此外, \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 還隨着 \(K T_{\mathrm{e}}\) 的增加而增加. 倘若沒有熱 騷動, 電荷雲會收縮成一無限薄層. 最后, 在 \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 定義中使用的是電子溫度, 因為 電子比離子更容易遷移, 電子移動時通常會產生負電荷過剩或不足, 從而產生屏 蔽作用. 僅在特殊情況下, 才不會這樣 (習題 1-5).
下面是方程 (1-15) 的兩種有用形式:

\[\begin{array}{cll} \lambda_{\mathrm{D}}& =6.9\sqrt\frac T n \mathrm{~cm} \quad (T \text { 的單位為 } \mathrm{K}) \\ \lambda_{\mathrm{D}}&=740 \sqrt \frac {K T} n\mathrm{~cm}\quad (K T \text { 的單位為 } \mathrm{eV}) \end{array} \]

現在我們能哆確定 “准中性” 的意義.

如果系統的尺度 \(L\) 遠大於 \(\lambda_{\mathrm{D}}\), 那么每 當出現電荷的局部集中或者在系統中引入外電勢時, 它們就在比 \(L\) 短的距離內被 屏蔽, 使等離子體的大部分免受大電勢或電場的影響. 在壁或一個障礙物的鞘層 外面, \(\nabla^{2} \phi\) 是很小的, 並且 \(n_{i}\) 近似等於 \(n_{\mathrm{e}}\), 作為一個典型值, \(n_{\mathrm{i}}\) 與 \(n_{\mathrm{e}}\) 的差別小 於 \(1 \times 10^{6}\). 這樣一來, 只能有小的電荷不平衡, 並引起 \(K T / e\) 量級的電勢. 等離 子體是 “准中性” 的, 也就是說, 等離子體中性到可以取 \(n_{\mathrm{i}} \simeq n_{\mathrm{e}} \simeq n\) (其中 \(n\) 是公 共密度, 稱為等離子體密度), 但是還沒有中性到所有感興趣的電磁力都消失. 一個電離氣體成為等離子體的一個判據是: 氣體足夠稠密, 以至於 \(\lambda_{\mathrm{D}}\) 遠小 於 \(L\).
在單一屬種的系統中 (如速調管和磁控管的電子流或回旋加速器的質子束), 德拜屏蔽現象也以更改的形式出現. 在這種情況下, 除非密度非常低（通常是這 樣的), 任何粒子的局部集中都會引起未被屏蔽的強電場. 而一個外加電勢, (如 來自金屬絲探針的電勢) 會通過靠近電極處的密度調整而被屏蔽. 單一種類的系 統, 或非中性等離子體不是嚴格的等離子體, 但是能用等離子體物理學的數學工 具來研究這類系統.

\(1.5\) 等離子體參量

僅僅當電荷雲中有足夠的粒子時, 上面給出的德拜屏蔽圖像才是正確的. 很 明顯, 倘若在鞘層區域只存在一個或兩個粒子, 那么, 德拜屏蔽就不是一個統計 上正確的概念. 用方程 (1-17), 我們能夠計算在 “德拜球” 中的粒子數 \(N_{\mathrm{D}}\) :

\[N_{\mathrm{D}}=n \frac{4}{3} \pi \lambda_{\mathrm{D}}^{3}=1380 T^{3 / 2} / n^{1 / 2} \quad(T \text { 的單位為 } \mathrm{K}) \]

除了 \(\lambda_{\mathrm{D}} \ll L\), “集體行為” 還要求

\[{\color{blue}N_{\mathrm{D}}\gg 1} \]

這是等離子體的第二個判據。

\(1.6\) 等離子體判據

我們已經給出了一種電離氣體稱為等離子體所必須滿足的兩個條件, 而第三 個條件是和碰撞有關的. 例如, 噴管尾氣中的弱電離氣體, 並不能看作一個等離 子體, 因為帶電粒子和中性原子的碰撞是如此頻繁, 以至於它們的運動受普通流 體動力學的力而不是受電磁力所支配. 如果 \(\omega\) 是典型的等離子體振盪頻率, \(\tau\) 是 帶電粒子與中性原子碰撞的平均時間, 則氣體的行為像等離子體而不像中性氣體 的條件是 \(\omega \tau>1\).

其物理含意為：電荷分離產生的等離子體震盪時間遠小於粒子之間的碰撞時間。即電性質為主。

\(\omega>\frac 1 {\tau}\) 振盪頻率>碰撞頻率

所以, 等離子體必須滿足的三個條件是:
(1) \(\lambda_{\mathrm{D}} \ll L\).

(2) $ N_{\mathrm{D}} \gg 1 .$
(3) $ \omega \tau>1 .$

1.7等離子體物理學的應用

氣體放電。如日光燈、霓虹燈、電焊等。
受控熱核聚變。磁約束和慣性約束。
氣體激光器。如氦氖、X射線激光等。
空間物理學。主要是地球磁場。
天體揚理學。恆星演化、蟹狀星雲 、天體射流現象等。
激光火箭、等離子體天線等。