【電工學】 數字電路基礎知識

 

數制與碼制

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數制

數制即計數體制，是指人們進行計數的方法和規則。在我們的日常生活和工作中，經常會用到一些不同的數制，例如，平常計數和計算所使用的十進制，時間上分、秒計數的六十進制，小時計數的十二進制或二十四進制，每星期天數計數的七進制等，其中使用得最普遍的是十進制。

數字電路中采用的是二進制，這是因為二進制只有“1”和“0”兩個數碼，可以方便地用電流的有無、電壓的高低、電路的通斷等兩種狀態來表示。

如ASCII碼

 

2、十進制

 

3、任意進制(N進制)正整數展開式的普遍形式為：

4、八進制是二進制的整數次冪，一個八進制數的每一位的數值同對應的3位二進制數相等。

 

5、同理，16進制是2進制的4次冪，一個十六進制數的每一位的數值同對應的4位二進制數相等。

 

6、十進制轉為二進制

 

碼制

      碼制也稱為編碼。

     在數字電路中，信息是用離散的數碼來表示的，數碼的大小是所有數碼中最小一個數碼值的整數倍。信息分為兩類：數值信息和非數值信息。
       當數碼用來表示數值信息時，必須既要能表示數值的大小又要能夠進行數值的加減乘除等運算。因此就需要用進位計數制的方法來用數碼表示數值稱為數制，如二進制、八進制、十進制等等，在數字電路中是用二進制來表示的。
      當數碼用來表示非數值信息時，數碼只是不同事物、狀態等等的代號而已稱為編碼也叫碼制，沒有數量大小的含義。為了方便查找和記憶、存儲，在編碼時總要遵循一定的規則，讓大家共同使用，例如美國的ASCII碼。

1、編碼：用某種文字、符號或數字表示特定對象的過程；

2、代碼：一組用來描述狀態的多位二進制數；

數字電路中，采用二進制數對各種對象或狀態進行編碼，1位二進制數有0/1兩個數值，因此1位二進制數只能表示2種狀態或2個事物。若需要表示更多的狀態或事物，就需要增加二進制數的位數，用一組多位的二進制數來表示。則這組二進制數就成為代碼。

 

2位二進制數可表示4種不同的二進制代碼，既可以代表4種不同的狀態，3位二進制數可以代表8種狀態，即M個對象，至少需要n位二進制數，確保 。

注意：標准ASCII碼，128種狀態，用7位二進制數表示，如用8位二進制數表示，最高位位0，具體形式為0XXX XXXX。

3、二進制編碼表示十進制數，二~十進制編碼（BCD碼，binary~coded decimal）

（1）有權碼：

 

4位二進制數中每一位都有固定的權值，分別將每個四位二進制數碼中為1的位挑出來，並將這些位的權值相加，其和就是該二進制代碼相對應的十進制數。

（2）無權碼：

 

  每一位二進制數無固定權值，而是按照其他規則來表示十進制數，具體而言，就是在8421碼的基礎上，加二進制數（0011），即十進制的3而形成的余3碼。

（3）各BCD碼的編碼特點

 

 

各BCD碼的編碼特點

8421碼：實際上是十進制數轉換為二進制數時的形式。

2421碼：0和9所對應的二進制代碼在相同的位置上的數正好相反，1和8、2和7、3和6、4和5情況相同。

余三碼：與2421碼情況類似。

4、格雷碼（gray code，又稱循環碼）

（1）除了需要對數進行編碼，有時還需要對狀態、次序進行編碼，格雷碼就是這樣的編碼方式。

（2）以下位4位格雷碼的編碼表，表示了16種狀態，格雷碼是一種循環碼，每一位從上到下的排列順序，都是以固定周期來循環的。如表中右起第一位，是按0110不斷循環的，第二位是按0011 1100不斷循環，故又稱循環碼。

 

 

格雷碼

格雷碼的特點是相鄰序態對應的格雷碼各位數只有1位不同，即格雷碼在按態序變化的時候，每次只變換一位數碼。

在工程應用中，采用格雷碼來對行進機構的位置進行編碼，具有非常明顯的優勢。

以下為一個行進機構位置編碼的黑白色帶：

 

 

 

光電傳感器通過色帶讀出的代碼，來確定行進機構的位置，定義光電傳感器將色帶上黑色讀為1，白色讀為0。若采用左邊的二進制編碼形式，會出現多位數碼同時變化的情況。譬如，從0111變化到1000，這時如果光電傳感器的反應速度不一致的話，例如右邊起第1位讀出數據較慢，就會在變為1000之前出現1001這一錯誤的位置信息。

而如果采用格雷碼，因為相鄰態序的格雷碼只有1位數碼的變化，只有該位對應的光電傳感器狀態有所變化，所以不會出現上面的錯誤。

5、原碼、反碼、補碼

（1）原碼：有符號位的二進制數，最高位為符號位，“0”表示正，“1”表示負，其余為表示數值的大小。

（2）反碼：正數的反碼與其原碼相同。負數的反碼時對其原碼逐位取反，但符號不變。

（3）補碼：正數的補碼與其原碼相同。負數的補碼是在其反碼的末位加1。

 

（4）引入原因：

由於符號位的引入，若采用原碼的形式計算5+(-6)，是無法得到正確且有效的結果的，補碼的引入就是為了解決這個問題。即計算機計算有符號數值的運算時，采用的是補碼形式。

 

 

 

 

基本邏輯運算

知識點概述：

1、與邏輯：若某種事件的最終“結果”必須依賴於若干“條件”的同時滿足，實際上這種“結果”和“條件”的關系就是“與”邏輯關系。

2、或邏輯：在決定一件事件的各個“條件”中，只要滿足其中任何一個，“事件”就會發生。

3、非邏輯：當一個“條件”滿足時，“事件”不發生，當這個“條件”不滿足時，“事件”才發生。

 

基本邏輯運算

 

 

普通代數與邏輯代數

與邏輯運算

1、與邏輯：若某種事件的最終“結果”必須依賴於若干“條件”的同時滿足，實際上這種“結果”和“條件”的關系就是“與”邏輯關系。

（1）開關構成的與邏輯電路

 

 

開關構成的與邏輯電路

（2）二極管構成的與邏輯電路

 

 

 

 

二極管構成的與邏輯電路

2、與邏輯的邏輯函數表達式： ；

 

 

與邏輯函數表達式、與門

或邏輯運算

1、或邏輯：在決定一件事件的各個“條件”中，只要滿足其中任何一個，“事件”就會發生。

（1）開關構成的或邏輯電路

 

 

開關構成的或邏輯電路

（2）二極管構成的或邏輯電路

 

 

二極管構成的或邏輯電路

2、或邏輯的邏輯函數表達式： ；

 

 

或邏輯函數表達式、與門

非邏輯運算

1、非邏輯：當一個“條件”滿足時，“事件”不發生，當這個“條件”不滿足時，“事件”才發生。

（1）開關構成的非邏輯電路

 

 

開關構成的非邏輯電路

（2）二極管構成的非邏輯電路

 

 

二極管構成的非邏輯電路

2、非邏輯的邏輯函數表達式： ；

 

 復合邏輯運算

知識點概述：

1、復合邏輯運算由基本邏輯運算組合而成；

2、常見的有與非、或非、同或、異或等；

 

復合邏輯運算由基本邏輯運算組合而成；

與非邏輯運算

1、與非邏輯：由與邏輯和非邏輯復合而成。

將與門的輸出接到非門的輸入（如下圖）

與非門

一般認為門電路的符號中，輸出信號處的小圓圈，就表示對小圓圈之前部分的信號進行求反。

2、與非邏輯的邏輯表達式：

3、與非邏輯真值表

即有0出1，全1出0。

或非邏輯運算

1、或非邏輯：由或邏輯和非邏輯復合而成。

將或門的輸出接到非門的輸入（如下圖）

或非門

2、或非邏輯的邏輯表達式：

或非邏輯的邏輯表達式

3、或非邏輯真值表

或非邏輯真值表

即有1出0，全0出1。

異或邏輯運算

1、異或邏輯運算只能有兩個輸入變量，當兩個邏輯變量狀態相同時，輸出為0；當兩個邏輯變量狀態相反時，輸出為1。

異或邏輯的邏輯符號

2、異或邏輯的邏輯表達式：

異或邏輯的邏輯表達式

3、異或邏輯真值表

異或邏輯真值表

同或邏輯運算

1、同或邏輯運算只能有兩個輸入變量，當兩個邏輯變量狀態相同時，輸出為1；當兩個邏輯變量狀態相反時，輸出為0。

同或邏輯的邏輯符號

2、同或邏輯的邏輯表達式：

同或邏輯的邏輯表達式

3、同或邏輯真值表：

邏輯代數的基本公式

定義

邏輯代數是一種用於描述客觀事物邏輯關系的數學方法，由英國科學家喬治·布爾(George·Boole)於19世紀中葉提出，因而又稱布爾代數。邏輯代數有一套完整的運算規則，包括公理、定理和定律。它被廣泛地應用於開關電路和數字邏輯電路的變換、分析、化簡和設計上，因此也被稱為開關代數。隨着數字技術的發展，邏輯代數已經成為分析和設計邏輯電路的基本工具和理論基礎。

缺點：只保證推導的過程正確。如果命題是錯的推導結果也是錯的。

知識點概述：

1、邏輯代數：邏輯代數是分析和設計數字邏輯電路的數學基礎。

2、應用邏輯嗲書的基本公式、公理、定理，可以方便地極性邏輯函數的推演、運算、化簡。

3、基本定理包括：交換律、結合律、分配律、同一律、摩根定理、吸收律、還原律。

公理

1、與邏輯的運算符與代數的“乘號”相同，用“ ”表示，運算結果也相同。

2、或邏輯的運算符與代數的“加號”相同，用“ ”表示，但計算結果明顯不同，如1+1=1。

 

 

定理

1、

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

即一個變量的原變量和反變量，分別和其他兩個變量構成與項時（即 ），若其他兩個變量構成的與項和前面的兩個與項進行或運算（即在 再與 項進行或運算），則其他兩個變量構成的與項就會被吸收（即 項被吸收）。

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