經常在一些數論題題解中看到剩余類、剩余系、完全剩余系、簡化剩余系這幾個名詞，但總感覺自己對它們的概念理解得不是很深，而且還經常混淆，故寫篇博客記錄下自己所理解的剩余系相關知識，如有錯誤，歡迎路過的大佬指正。
剩余類（同余類）
定義
給定一個正整數 \(n\)，把所有整數根據模 \(n\) 的余數 \(r\in[0,n-1]\) 分為 \(n\) 類，每一類數都是諸如 \(C_r=n*x+r,\ x\in Z\) 的形式，這樣的一類數所構成的一個集合稱為模 \(n\) 的剩余類。
例如我們取 \(n=1145,\ r=14\)，則 \(C_{14}=1145x+14\)，為一個模 \(1145\) 的剩余類，\(-1131,14,1159\) 都是其中的元素。
性質
剩余類的性質都很顯然，沒什么好說的，直接過了。
剩余系
定義
給定一個正整數 \(n\)，有 \(n\) 個不同的模 \(n\) 的剩余類，從中任選 \(x\) 個不同的剩余類，從這 \(x\) 個剩余類中各取出一個元素，總共 \(x\) 個數，將這些數構成一個新的集合，則稱這個集合為模 \(n\) 的剩余系。
例如我們取 \(n=1145\)，則 \(r=\{11,4,5,14\}\) 是一個模 \(114514\) 的剩余系。
性質
沒啥性質，略。
完全剩余系（完系）
定義
給定一個正整數 \(n\)，有 \(n\) 個不同的模 \(n\) 的剩余類，從這 \(n\) 個不同的剩余類中各取出一個元素，總共 \(n\) 個數，將這些數構成一個新的集合，則稱這個集合為模 \(n\) 的完全剩余系。
例如我們取 \(n=5\)，則 \(\{0,1,2,3,4\}\) 是一個模 \(5\) 的完全剩余系，\(\{5,1,8,-3,14\}\) 也是一個模 \(5\) 的完全剩余系。
性質
對於一個模 \(n\) 的完全剩余系 \(r\)，若有 \(a\in Z,\ b\in Z\)，且 \(\gcd(n,a)=1\)，則 \(a*r_i+b\ (i\in[0,n-1])\) 也構成一個模 \(n\) 的完全剩余系。
證明：
命題 \(1\) ：如果 \(r\) 是一個模 \(n\) 的剩余系，那 \(r_i+b\) 一定也構成一個模 \(n\) 的完全剩余系。
反證法，若 \(r_i+b\) 不構成一個模 \(n\) 的完全剩余系，則存在兩個元素同余 \(n\)，即有 \(r_x+b\equiv r_y+b\pmod n\)，同余式兩邊同時減去 \(b\)，有 \(r_x\equiv r_y\pmod n\)，與 \(r\) 是一個模 \(n\) 的剩余系這一前提矛盾，命題 \(1\) 得證。
命題 \(2\)：若 \(r\) 是一個模 \(n\) 的完全剩余系，對於任意的整數 \(a\)，若有 \(\gcd(a,n)=1\)，則 \(a*r_i\) 也構成一個模 \(n\) 的完全剩余系。
同樣是反證法，若結論不成立，則有 \(a*r_x\equiv a*r_y\pmod n\)，因為 \(\gcd(a,n)=1\)，所以一定存在 \(a\mod p\) 的逆元 \(inv(a)\)，同余式兩邊同時乘以 \(inv(a)\)，則有 \(r_x\equiv r_y\pmod n\)，與前提矛盾，命題 \(2\) 得證。
這倆個命題都得證，所以 \(a*r_i\) 構成一個模 \(n\) 的完全剩余系，\(a*r_i+b\) 也構成一個模 \(n\) 的完全剩余系，故性質得證。
簡化剩余系（既約剩余系、縮系）
定義
給定一個正整數 \(n\)，有 \(\varphi(n)\) 個不同的、模 \(n\) 的余數 \(r\) 與 \(n\) 互質的剩余類，從這 \(\varphi(n)\) 個剩余類中各取出一個元素，總共 \(\varphi(n)\) 個數，將這些數構成一個新的集合，則稱這個集合為模 \(n\) 的簡化剩余系。
例如我們取 \(n=10\)，則 \(\{1,3,7,9\}\) 是一個模 \(10\) 的簡化剩余系；取 \(n=5\)，則 \(\{1,8,7,14\}\) 是一個模 \(5\) 的簡化剩余系，顯然模 \(n\) 的簡化剩余系中所有的數都與 \(n\) 互質。
性質
對於一個模 \(n\) 的簡化剩余系 \(r\)，若有 \(a\in Z\) 且 \(\gcd(n,a)=1\)，則 \(a*r_i\) 也構成一個模 \(n\) 的簡化剩余系。證明跟上面的差不多，反證就完了嗷。
參考資料
- 剩余系_百度百科 (baidu.com)
- 剩余類_百度百科 (baidu.com)
- 完全剩余系_百度百科 (baidu.com)
- 簡化剩余系_百度百科 (baidu.com)
- 【初等數論】 03 - 同余和剩余系 - 卞愛華 - 博客園 (cnblogs.com)
