2 原始遞歸函數
2.1 原始遞歸函數
- Q: 證明合成、原始遞歸保持可計算性的思路是什么？
A: 寫一段\(\mathscr S\)程序計算相應函數。
合成：順序結構。
原始遞歸：循環結構。（更具體地，用一個變量\(Z\)表示不斷增長的\(t\)，\(Z\)每次+1，而\(X_{n+1}\)每次-1，當\(X_{n-1}\)減為0時跳出循環，恰好\(Z\)就是輸入的最后一個分量，這就計算出了結果） - Q: 原始遞歸函數定義中的\(n+2\)元函數\(g\)的輸入分為三部分：遞歸次數\(t\)，上次遞歸結果\(h(\cdots, t)\)，本次輸入\(x_1,\cdots,x_n\). 那么只使用三部分中其中某些部分的原始遞歸函數退化成了什么？有哪些典型例子是對這三部分不全部使用的？
A:
0. 只使用\(t\)則退化成了一元函數。- 只使用\(x_1,\cdots,x_n\)則退化成多元函數。
- 只使用\(t,x_1,\cdots,x_n\)也退化成多元函數。
總之不使用\(h(t)\)就一定跟一般意義的“遞歸”沒有關系。 - 只使用\(h(\cdots,t)\)：退化為“反復地復合一元函數”，即\(h(\cdots,t+1)=g(t,h(\cdots,t),\cdots)=g_1(h(\cdots,t))=g_1(g_1(h(\cdots,t-1)))\)以此類推。
例：不斷平方，用於計算\(x^{2^n}\).
例：驗證Collatz猜想。 - 只使用\(t,h\)：相當於利用原始遞歸運算構造一元函數。一切原始遞歸運算構造的一元函數都可以看作此類例子。
具體地，當\(t\)從0開始不斷增大時，連續應用了一系列\(g(t,h)\)，這就可以很容易的構造某種“累積”，例如\(g(t,h)=f(t)+h(t)\)，這就可以計算從1開始一串整數的函數值之和。（參見2.3迭代運算）
特別地，回憶只使用\(h\)的情況，對於上面“計算函數值之和”的例子就退化為計算常數之和，即反復加同一個常數。 - 只使用\(h,x_1,\cdots,x_n\)：直觀上看，遞歸的規則和遞歸了多少次無關。不需顯式出現\(t\)（即\(t\)的唯一作用就是計算出\(h(x,t)\)）
例如\(n=1\)，遞歸定義加法為\(h(x,0)=x;h(x,t+1)=h(x,t)+1\). 遞歸定義乘法\(h(x,0)=0;h(x,t+1)=h(x,t)+x\). 遞歸定義乘方\(h(x,0)=1;h(x,t+1)=h(x,t)*x\). 這些例子中都不顯式出現\(t\).
相比之下，遞歸定義階乘\(h(0)=1,h(t+1)=h(t)\cdot (t+1)\)中就顯式出現了\(t\). 可以看到關鍵點是階乘每次“操作”不是“相同”的，但是加法乘法每次操作是“相同”的。
- Q: 對於課本中本節列舉的10種常見的原始遞歸函數，請用樹結構表示\(p(x),x\dot -y, |x-y|, \alpha(x)\)間的依賴關系。
A: \(p(x):\{x\dot -y:\{|x-y|,\alpha(x)\}\}\) - Q: 說明在\(n\)個整數中取最大值的函數是原始遞歸的。
A: 提示：用歸納
\(max(x_1,\cdots, x_n)=max(max(x_1,\cdots,x_{n-1}),x_n)\)
\(max(x,0)=x;max(x,t+1)=max(x,t)+(t\ge x)\)
2.2 原始遞歸謂詞
- Q: 如何表示邏輯運算、分段函數？
A: 乘是“與”，\(\alpha\)是“非”。與、非已經是邏輯連接符的完備集了。
\(f\cdot P+g\cdot \neg P\)
2.3 迭代運算、有界量詞和極小化
- Q: 迭代運算、有界量詞和有界極小化有何聯系？
A: 界為\(y\)的有界量詞相當於\(y\)次邏輯運算，而與、或邏輯運算相當於乘法、加法，則有界量詞就是\(\prod,\sum\).
構造有界極小化時，設“最小合題意的數”存在為\(t_0\)，那么只需對小於\(t_0\)的所有數賦函數值1，大於等於\(t_0\)的賦值0，這些值全部相加就恰好得到\(t_0\). 而這個“賦值”可以通過邏輯與實現（即“更小的都不滿足”）。所以有界極小化是外層連加，內層連乘。 - Q: 由上定義，如果不存在\(t_0\)，那么有界極小化結果為\(y+1\). 但本書中強行定義此時結果為（）. 觀察本節內容，推測這出於什么考慮。
A: 0
由此，得到\(\lfloor x/0\rfloor=p_0=0\).
本節中對於第\(n\)個質數\(p_n\)的界估計非常“慷慨”。實際上，因為有界極小化只需要有一個界就行了，我們經常給出很松的估計。
如果將\(t_0\)不存在時有界極小化結果定義為\(y+1\)，那么結果和界有關，這顯然不太理想。 - Q: 辨析：有界極小化，極小化
原始遞歸函數，遞歸函數，部分遞歸函數，可計算函數，部分可計算函數
A: 極小化相比有界極小化，去除了界的限制。故原本有界極小化找不到\(t_0\)而輸出0的情況在極小化處要不然會輸出\(>t_0\)的數，要不然\(\uparrow\).
原始遞歸函數使用三種初始函數（零，后繼，投影）和兩種針對函數的運算（合成，原始遞歸）得到，而部分遞歸函數可額外使用極小化。故原始遞歸一定部分遞歸，也一定遞歸。部分遞歸不一定原始遞歸。
部分遞歸的全函數即遞歸函數。遞歸也不一定原始遞歸。
根據極小化可用\(\mathscr S\)計算，知部分遞歸、遞歸就是部分可計算、可計算。其實反過來也成立，但此章先不證明。
2.4 配對函數和Gödel數
- Q: 利用配對函數的構造方式，構造有序\(k\)元組到自然數的一一對應。
A: 例如4元，\(2^x 3^y 5^zf(w)\)，其中\(f(w)\)是從小到大第\(w\)個不被2，3，5整除的數。
不過此時還有0的問題，所以最后要\(-1\)
注：可以不寫帶點的\(\dot -1\)，因為此處可以保證被減數不小於減數。 - Q: 配對函數和Gödel數都對解碼是全函數提出了要求，那么怎么處理邊界情況呢？
A: 本書中，配對函數直接\(-1\)，Gödel數則在對0解碼或者解碼“第0位”時始終得0.
注：\((0)_i=(1)_i=(i)_0=0\).
注：可以看到配對函數的解碼仍是單射，但哥德爾編碼的解碼並不是，因為規定0和1的解碼都是“空”（或稱全為0的數列）。 - Q: 哥德爾編碼中，求長度\(Lt(x)\)為什么可以用有界極小化表示？
A: 平凡的界：一個自然數的因數小於等於自身。
2.5 原始遞歸運算
- Q: 請分別根據2.4的角度和2.1題1.的角度對比聯立遞歸、多步遞歸、多變量遞歸。
A:
0. 2.4
聯立遞歸使用配對（或者更一般的，對有限長元組編碼）函數，把\(h_1,\cdots,h_m\)編碼成一個\(H\).
多步遞歸使用Gödel數，把\(h(x,0),\cdots,h(x,t)\)編碼成一個\(H(x,t)\). 這里\(t\)是變長的，區別上面的\(m\).
多變量遞歸使用Gödel數，把“對角線”上（\(t_1+t_2=常數\)）的值編碼成一個\(H\). 注：大於2個變量時，其實也可以用某種排序編碼成Gödel數。- 2.1題1.
聯立遞歸針對\(h\)（每個\(t\)的\(h\)變成多個），多步遞歸也針對\(h\)（積累之前的所有h），多變量遞歸針對\(h\)和\(t\)（\(t\)變成兩個，\(h\)也相應有兩個相關輸入字段\(t_1,t_2\)）
- 2.1題1.
- Q: 本節中2.21至2.24中都出現原始遞歸（可計算）字樣。原始遞歸就是可計算嗎？如果不是，那么這括號又是什么意思？
A: 不是。原始遞歸函數是可計算函數的真子集。（參見下節）
括號表示從使用（聯立、多步、多變量）遞歸前到使用遞歸后只使用了原始遞歸函數所允許的各個運算，故使用遞歸保持原始遞歸，也保持可計算。
簡單來說：原始遞歸，原始遞歸，得到原始遞歸。
可計算，原始遞歸，得到可計算。
括號反映的是這里的相同。不是這里的相同。 - Q: 多步遞歸和\(h(x,t+1)=g(t,h(x,\omega_1(x,t)),\cdots,h(x,\omega_k(x,t)),x),t\ge k-1, \omega_i(x,t)\le t\)有何聯系？
A: 多步遞歸允許使用之前所有數，自然允許計算出\(k\)個索引值\(\omega_1,\cdots,\omega_k\)，再“查表”。注意每個索引值都必須\(\le t\)，否則死循環了。