拓端tecdat|R語言ARIMA-GARCH波動率模型預測股票市場蘋果公司日收益率時間序列

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引言

在本文中，我們將嘗試為蘋果公司的日收益率尋找一個合適的 GARCH 模型。波動率建模需要兩個主要步驟。

1. 指定一個均值方程（例如 ARMA，AR，MA，ARIMA 等）。
2. 建立一個波動率方程（例如 GARCH, ARCH，這些方程是由 Robert Engle 首先開發的）。

要做(1)，你需要利用著名的Box-Jenkins方法，它包括三個主要步驟。

1. 識別
2. 估算
3. 診斷檢查

這三個步驟有時會有不同的名稱，這取決於你讀的是誰的書。在本文中，我將更多地關注（2）。

我將使用一個名為quantmod的軟件包，它代表量化金融建模框架。這允許你在R中直接從各種在線資源中抓取金融數據。

1.  
    
2.  
   #install.packages("quantmod") -需要先安裝該軟件包
3.  
    
4.  
   getSymbols(Symbols = "AAPL",
5.  
   src="yahoo", #其他來源包括：谷歌、FRED等。
6.  
    
7.  
    

收益通常有一個非常簡單的平均數方程，這導致了簡單的殘差。

我們首先要測試序列依賴性，這是條件異方差的一個指標（序列依賴性與序列相關不同）。這是通過對原始序列的平方/絕對值進行測試，並使用Ljung和Box（1978）的Ljung-Box測試等聯合假設進行測試，這是一個Portmentau檢驗，正式檢驗連續自相關，直到預定的滯后數，如下所示。

其中T是總的周期數，m是你要測試的序列相關的滯后期數，ρ2k是滯后期k的相關性，Q∗(m)∼χ2α有m個自由度。

檢查

下面是AAPL對數收益時間序列及其ACF，這里我們要尋找顯著的滯后期（也可以運行pacf）或存在序列自相關。

通過觀察ACF，水平序列（對數收益）並不是真正的自相關，但現在讓我們看一下平方序列來檢查序列依賴性。

我們可以看到，平方序列的ACF顯示出顯著的滯后。這是一個信號，說明我們應該在某個時候測試ARCH效應。

平穩性

我們可以看到，AAPL的對數回報在某種程度上是一個平穩的過程，所以我們將使用Augmented Dicky-Fuller檢驗（ADF）來正式檢驗平穩性。ADF是一個廣泛使用的單位根檢驗，即平穩性。我們將使用12個滯后期，因為根據文獻的建議，我們有每日數據。 何：存在單位根（系列是非平穩的

1.  
   ##
2.  
   ## Title:
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   ## Augmented Dickey-Fuller Test
4.  
   ##
5.  
   ## Test Results:
6.  
   ## PARAMETER:
7.  
   ## Lag Order: 12
8.  
   ## STATISTIC:
9.  
   ## Dickey-Fuller: -14.6203
10.  
    ## P VALUE:
11.  
    ## 0.01
12.  
    ##
13.  
    ## Description:
14.  
    ## Mon May 25 16:45:37 2020 by user: Florian

上面的P值為0.01，表明我們應該拒絕Ho，因此，該系列是平穩的。

結構突變檢驗

請注意，我從2008年底開始研究APPL序列。以避免08年大衰退，通常會在數據中產生結構性突變（即趨勢的嚴重下降/跳躍）。我們將對結構性突變/變化進行Chow測試。 AAPL的日收益率沒有結構性突變

該圖顯示，用於估計斷點（BP）數量的BIC（黑線）是BIC線的最小值，所以我們可以確認沒有結構性斷點，因為最小值是零，即零斷點。在預測時間序列時，斷點非常重要。

估計

在這一節中，我們試圖用auto.arima命令來擬合最佳arima模型，允許一個季節性差異和一個水平差異。

正如我們所知，{Yt}的一般ARIMA(p,d,q)。

根據auto.arima，最佳模型是ARIMA(3,0,2)，平均數為非零，AIC為-14781.55。我們的平均方程如下（括號內為SE）。

Auto.arima函數挑選出具有最低AIC的ARIMA(p,d,q)，其中。

其中Λθ是觀察到的數據在參數的mle的概率。因此，如果Auto.arima函數運行N模型，其決策規則為AIC∗=min{AICi}Ni=1

診斷檢查

我們可以看到，我們的ARIMA(3,0,2)的殘差是良好的表現。它們似乎也有一定的正態分布

1.  
   ##
2.  
   ## Ljung-Box test
3.  
   ##
4.  
   ## data: Residuals from ARIMA(3,0,2) with non-zero mean
5.  
   ## Q* = 6.7928, df = 4, p-value = 0.1473
6.  
   ##
7.  
   ## Model df: 6. Total lags used: 10

現在我們將通過對我們的ARIMA(3,0,2)模型的平方殘差應用Ljung-Box測試來檢驗ARCH效應。

1.  
   ##
2.  
   ## Box-Ljung test
3.  
   ##
4.  
   ## data: resid^2
5.  
   ## X-squared = 126.6, df = 12, p-value < 2.2e-16

我們可以看到，殘差平方的 ACF 顯示出許多顯著的滯后期，因此我們得出結論，確實存在 ARCH 效應，我們應該對波動率進行建模。

使用 GARCH 建立波動率模型

上面將我們的平均數方程中的殘差進行了平方，看看大的沖擊是否緊隨在其他大的沖擊之后（無論哪個方向，即負的或正的），如果是這樣，那么我們就有條件異方差，意味着我們有需要建模的非恆定方差。下面是一個GARCH(m,s)的樣子。

其中{ϵ2t}mt=1是我們通常的特異性沖擊，iid隨機變量，即ϵ2t∼WN(0,σ2ϵ)。我們可以更緊湊地寫成：

其中B是標准的后移算子Biϵ2t=ϵ2t-i，Biσ2t=σ2t-i。對於任何整數ii，以及α和β分別是度數為m和s的多項式

請注意，一個特殊情況是當s=0時，GARCH(m,0)被稱為ARCH(m)。

當我說GARCH家族時，它表明模型有變化。

• SGARCH。普通GARCH
• EGARCH。指數GARCH，允許波動率不為負值（這迫使模型只輸出正方差
• FGARCH。這是為長記憶模型准備的。它使用了被稱為 ARFIMA 的 Fractionaly integrated ARIMA（即非整數整合）。
• GARCH-M：這是GARCH的均值，適合你的均值方程中有波動率例如CAPM的方程中有σ。
• GJR-GARCH。假設負面沖擊和正面沖擊之間存在不對稱性（金融數據幾乎都是這樣）。

為收益率序列建立波動率模型包括四個步驟：

1. 通過測試數據中的序列依賴性來指定一個均值方程，如果有必要，為收益序列建立一個 計量經濟學模型（例如，ARIMA 模型）來消除任何線性依賴。
2. 使用平均值方程的殘差來測試ARCH效應。
3. 如果ARCH效應在統計上是顯著的，就指定一個波動率模型，並對均值和波動率方程進行聯合估計。
4. 仔細檢查擬合的模型，必要時對其進行改進。

一個簡單的 GARCH 模型有以下成分。

均值: 

波動率方程:  

誤差假設: 

1.  
    
2.  
   #以下命令將計算GARCH(m,s)。請記住，對於某些m和s的組合，它可能不會收斂。
3.  
    
4.  
   garchlist(model="sGARCH", #其他選項有egarch, fgarch等。
5.  
   garchOrder=c(1,2)), #你可以在這里修改GARCH(m,s)的階數
6.  
   mean.model , #指定你的ARMA模型，暗示你的模型應該是平穩的。
7.  
   distribution.model #其他分布是 "std "代表t分布，"ged "代表一般誤差分布
8.  
    

我們的波動率方程由GARCH(1,2)給出，AIC:-5.5277（注意GARCH可能無法收斂）。

下面是使用我們的波動率模型對波動率進行的預測。這看起來是一個合理的波動率預測，但是你想改進你的模型。

現在讓我們使用rugarch的標准功能，使用估計的GARCH(1,2)模型來產生σt的滾動預測，並將它們與|rt|作對比。

最后，我們可以手動編寫代碼來查看隨時間變化的波動率和對數收益率rt，如下圖。

1.  
    
2.  
   # 這將有助於在對數收益率上繪制sigma隨時間變化的圖。
3.  
    
4.  
   sigma.t #這是你的波動率序列
5.  
    
6.  
   ggplot()
7.  
   geom_line(aes(x=as.numeric(
8.  
    
9.  
   theme_bw()+
10.  
     

結論

事實證明，GARCH系列是所謂確定性波動率模型的一部分。還有一個家族叫做隨機波動率模型，它允許模型中存在隨機性，而GARCH假設我們對波動率進行了完美的建模（如果你對你所分析的序列非常熟悉，這可能是一個好的假設，但實際情況並不總是這樣）。隨機波動率模型通常是用馬爾科夫鏈蒙特卡洛（MCMC）和准蒙特卡洛方法來估計的，如果你學過隨機過程的相關內容，你會知道這是什么。

參考文獻

• Tsay, R. (2010). Analysis of Financial Time Series. (3rd ed., Wiley Series in Probability and Statistics).

• Brockwell, P., & Davis, Richard A. (2016). Introduction to time series and forecasting (3rd ed., Springer texts in statistics). New York: Springer.

• Racine, Jeffrey S. (2019) Reproducible Econometrics Using R (Oxford)

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